因为0.7
0.150.5?0.09?1，所以，U??U，因而消费者将过得更好。
7．设某产品的反需求函数为p?a-bq，其中a与b均严格为正数，现设政府决定征收税率为t的销售税，于是产品价格提高为p(1?t)，证明消费者剩余的损失大于政府征税所得的收益。（武大2003研；南京理工大学2001研）
解：由题意可得：设产品价格提高后产量为q'，则政府征税所得为q'pt 由p?a-bq可得
(a-p) b[a?p(1?t)]?q 所以q??bq?又因为?p?pt 消费者剩余损失?(q?q')?p(q?q')?pt?q'pt?政府征税所得 22所以证明消费者剩余的损失大于政府征税所得的收益。
8．若某人每周用于学习和约会的无差异曲线是围绕最佳组合（20，15）的同心圆，越接近最佳组合，满足越大。假设他每周用于学习25小时、约会3小时，现在请问他愿意每周用30小时学习，8小时约会吗？
解：根据题意，实际上只要分别求出点（25，3）和点（30，8）与最佳组合点（20，15）之间的距离，问题也就解决了。
令点（25，3）与点（20，15）之间的距离为d1，点（30，8）与点（20，15）之间的距离为d2，则
d1?(20?25)2?(15?3)2?169d2?(20?30)?(15?8)?14922
可见，d1?d2。因此，点（30，8）距圆心更近，故此人愿意每周用30小时学习、8小时约会。
9. 某人的效用函数形式为u=lnw。他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的0.9倍，50%的可能获得彩票款的1.4倍。请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票。（北大2006研）
解：假设此人将其所拥有的1000元中的x用于购买彩票，他将剩余的（1000－x）元存在银行。
对于（1000－x）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有1.1×（1000－x）元； 而对于x元购买彩票的钱而言，将有两种可能性：
①获得0.9x元，其概率为0.5 ②获得1.4x元，其概率为0.5 综上所述，此人的期望效用为：
EU =0.5×ln[1.1×（1000－x）+0.9x]＋0.5×ln[1.1×（1000－x）+1.4x] =0.5×ln(1100-0.2x)+0.5×ln(1100+0.3x)
令EU'?0.5??0.20.3?0.5??0，
1100?0.2x1100?0.3x解得x=916.7
所以此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.7元用于购买彩票，将剩余的钱83.3元用于银行存款。
10．近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险，假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为
U(W)?ln(W)
其中W表示财富价值。
（1）计算该户居民的效用期望值。
（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？
（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？
（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？（北大1998研）
解：（1）该户居民的期望效用为：75%×ln100 000 +25%×ln80 000=11.46
（2）u(w)??''1?0 2w故该户居民是风险规避者。
（3）缴纳保险费?后，居民的财富确定地为：100,000?? 不缴纳保险费，居民的预期效用为：11.46
100,000??)?11.46???5434元。 故ln(居民最多愿意支付5 434元。
（4）公平的保险费为2×25%=0.5万元
故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是5 434－5 000=434（元）
11．消费者的效用函数为U?XY，则他在Y商品上的支出占总支出的比例是多少？ 对Y的需求与X的价格有什么关系？（北大2000研）
解：假设总支出为M，总支出的分配为：PxX?PyY?M。 根据消费均衡的条件：
43PxMUx，可以得出 ?PyMUyPx?U/?X4X3Y34Y4PX?PyY，代入PxX?PyY?M中，得 ，所以???x423Py?U/?Y3XY3XPyY?33M，所以此消费者在Y商品上的支出占总支出的比例是，并且，对Y的需77求与X的价格无关。
12．假定某君效用函数为U=20+2M，这里，U是效用，M是货币收入（万美元）。他有10万美元，想投资于某项目。他认为有50%的可能损失全部投资，有50%可能获得30万美元，试问：
（1）如果他投资，他的效用是多少？
（2）他是否会进行这笔投资？（复旦大学1998研） 解：（1）该君货币期望值为0.5×0+0.5×30=15（万元）。因此，如果他投资，效用为U=20+2M=20+2×15=50。 或：
期望效用为0.5?U(0)?0.5?U(30)?0.5?(20?2?0)?0.5?(20?2?30)?50
（2）从效用函数的形式看，效用是货币收益的线性函数，因而他是一个风险中立者。他对风险持无所谓态度，关心的只是货币期望值极大，既然投资的货币期望值是15，而不投资的货币期望值为10，他当然会选择投资。
13．收获后，农民决定是卖粮存钱还是存粮。假定农民预期一年后粮价将涨20%。（不考虑粮食质量的差异），而存粮一年期间老鼠将吃掉10%的粮食，银行存款的年利率是10%。计算当预期的通货膨胀率为5%时，农民将如何选择？通货膨胀率到什么水平时，农民将选择存钱?（北大1999研）
解：假设农民现有价值1元的粮食。若他卖粮存钱，则一年后的收益为1+10%=1.1；若存粮，一年后的价值为（1+20%）（1－10%）（1+5%）=1.134，故农民将选择存粮。
设通货膨胀至π时，农民将选择存钱，此时必有
（1+10%）?（1+20%）（1－10%）（1+π）
因此，当通货膨胀率小于等于1.85%时，农民将选择存钱。
14．如果一个市场中的消费者都具有拟线性偏好（quasilinear utility），即
ui(xi,yi)?v(xi)?yi
其中i?1，??N代表第i个消费者，xi和yi分别代表每i个消费者对商品x和y的消费量，证明商品x的市场需求曲线一定不可能有正斜率。（北大1999研） 解：对第i个消费者来说，其效用最大化问题为：
maxui(xi,yi)?v(xi)?yi
xi,yi使得 pxxi?pyyi?mi 其中mi为消费者i的收入 由一阶条件
v'(xi)??px?0
1??py?0
N?x??N?N?xi1 因此，????0 ??xi???\?px?px?i?1?i?1?pxi?1pyv?xi?故斜率一定非正。
15．如果某人的绝对风险规避系数为一常数，则这个人的效用函数的形式必为
u(w)??e?cw。
u\(w)证明：设?'?c
u(w)则有lnu'(w)??cw?a0,a0为任意常数。
u'(w)?e?cw?a0
=>u（w）=?1?cw?a01e?a1??ea0e?cw?a1 cc故其效用函数的形式必为u(w)??e?cw
16一退休老人有一份固定收入，他现在需在北京、上海与广州三地之间选择一城市去
居住。假设他只按消费的效用来选择，不考虑地理、气候与文化因素。他的效用函数是
u?x1x2, x1,x2?Rt2
aa已知北京的物价是（P1,P2） bb上海的物价是（P1,P2）
P1a?P1bcP2a?P2baabb,P2?广州的物价是（P?），已知PP?P121P2 22c1问：他会选择哪个城市去居住？
解：老人的目标函数为： maxx1x2
x1,x2 s.t.p1x1?p2x2?m 其中m是老人的固定收入。
m2可得到老人的总效用由p1、p2决定，U?
4p1p2故他在北京的效用为：
m2 Ua?； aa4p1p2m2m2他在上海的效用为：Ub?;在广州的效用为：UC?cc bb4p1p24p1p2
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