2011年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．
1．设集合A?{a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8}，则集合A? ．
2．函数f(x)?x2?1的值域为 ． x?13．设a,b为正实数，
11??22，(a?b)2?4(ab)3，则logab? ． ab4．如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?)，??[0,2?)，那么?的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体ABCD中，已知?ADB??BDC??CDA?60?，AD?BD?3，CD?2，则四面体ABCD的外接球的半径为 ．
7．直线x?2y?1?0与抛物线y2?4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，?ACB?90?，则点C的坐标为 ．
8．已知an?C
n3200?6??200?n?1??????(n?1,2,?,95)，则数列{an}中整数项的个数为 ． 2??n二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．（本小题满分16分）设函数f(x)?|lg(x?1)|，实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?f(10a?6b?21)?4lg2，求a,b的值．
b?1)，b?210．（本小题满分20分）已知数列{an}满足：a1?2t?3(t?R且t??1)，
an?1?(2tn?1?3)an?2(t?1)tn?1an?2tn?1(n?N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若t?0，试比较an?1与an的大小．
1x2y211．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C：??1交于A,B两点（如图所
3364示），且P(32,2)在直线l的左上方．
y P O x B A
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若?APB?60?，求△PAB的面积．
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若?BPA??DPA，证明：?AQB??CQB．
D
A
Q
P
B
二、（本题满分40分）证明：对任意整数n?4，存在一个n次多项式
f(x)?xn?an?1xn?1???a1x?a0
C 具有如下性质：
（1）a0,a1,?,an?1均为正整数；
（2）对任意正整数m，及任意k(k?2)个互不相同的正整数r1,r2,?,rk，均有
f(m)?f(r1)f(r2)?f(rk)．
三、（本题满分50分）设a1,a2,?,an(n?4)是给定的正实数，a1?a2???an．对任意正实数r，满足
aj?aiak?aj?r(1?i?j?k?n)的三元数组(i,j,k)的个数记为fn(r)．
n2证明：fn(r)?．
4
四、（本题满分50分）设A是一个3?9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个m?n(1?m?3,1?n?9)方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1?1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
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