精品文档 用心整理
苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：y?ax?bx?c(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y?a(x?h)?k(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如y?ax?bx?c或y?a(x?h)?k，
或y?a(x?x1)(x?x2)，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为y?ax?bx?c；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为y?a(x?h)?k；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为y?a(x?x1)(x?x2)．
【典型例题】
222222类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．（2014秋?岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
解析式和对称轴．
【答案与解析】
2
解：设二次函数的解析式为y=ax+bx+c， 把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得
解得，
2
∴抛物线解析式为y=2x+x； ∴抛物线的对称轴x=﹣
=﹣
=﹣．
2
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax+bx+c (a≠0). 举一反三：
【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例1】
【变式】已知：抛物线y?ax2?bx?c经过A（0，?5），B（1，?3），C（?1，?11）三点，求它的顶
点坐标及对称轴．
??3?a?b?5?a??2【答案】设y?ax?bx?5(a≠0)，据题意列?，解得?，
?11?a?b?5b?4??2所得函数为y??2x?4x?5 对称轴方程：x?1，顶点?1,?3?.
22.（2015?巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数
的解析式．
【答案与解析】
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
2
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：
【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例2】
2
，?4)，且过点B(3，0). 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平
移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1）y?x?2x?3．
2（2）令y?0，得x?2x?3?0，解方程，得x1?3，x2??1．
2∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(?1，0)． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4，0).
3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【答案与解析】
解法一：设二次函数解析式为y?ax?bx?c(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．
2??9a?3b?c?0,?a??1,??则有?c?3, 解得?b?2,
?c?3.?b????1,?2a∴ 抛物线解析式为y??x?2x?3．
解法二：设抛物线解析式为y?a(x?x1)(x?x2)(a≠0)． 由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)． 则有y?a(x?1)(x?3)，即y?ax?2ax?3a． 又?3a?3，∴ a??1．
∴ 抛抛物物解析式为y??x?2x?3．
解法三：设二次函数解析式为y?a(x?h)?k(a≠0)． 则有y?a(x?1)?k，将点(3，0)，(0，3)代入得
22222?4a?k?0,?a??1, 解得 ???a?k?3,?k?4.资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴ 二次函数解析式为y??(x?1)?4，即y??x?2x?3．
【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，
一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为y?a(x?2)(x?4)(a≠0)，将(3，5)代入得5?a(3?2)∴ a??1．
∴ y??(x?2)(x?4)． 即y??x?2x?8．
(2)由(1)知C(0，8)， ∴ S△ABC?222(3?4)，
1(4?2)?8?24． 2【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．
苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.（2014秋?招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣6x+3x+4 B． y=﹣2x+3x﹣4 2．二次函数y?x?2x?5有( )
A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-6
2
3．把抛物线y=3x先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
2222
A. y=3(x－3)+2 B.y=3(x+3)+2 C.y=3(x－3)－2 D. y=3(x+3)－2
4．如图所示，已知抛物线y＝x?bx?c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，
222
2
C． y=x+2x﹣4
2
D． y=2x+3x﹣4
2
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )
A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3)
5．将函数y?x?x的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y?x?3x?2的图象，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若二次函数y?ax?bx?c的x与y的部分对应值如下表：
x Y -7 -27 -6 -13 -5 -3 -4 3 -3 5 -2 3 222 则当x＝1时，y的值为 ( ) A．5 B．-3 C．-13 D．-27
二、填空题
7．抛物线y??x?bx?c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．
2
第7题 第10题
8．（2014秋?江宁区校级月考）已知二次函数图象经过点（2，﹣3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4．则这个二次函数的解析式为 ．
9．已知抛物线y??x?2x?2．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；
10．如图所示已知二次函数y?x?bx?c的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，
x的取值范围是____ ____．
11．已知二次函数y?ax?bx?c (a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
222x … … y 3? 25? 4-1 -2 1? 29? 40 -2 1 25? 41 0 3 27 4… … 资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
则该二次函数的解析式为_____ ___．
12．已知抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．
三、解答题
13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；
(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．
14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
2
15．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
2
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D；
【解析】设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a≠0)，
将A、B、C三点代入解得a=2,b=3,c=-4.
故所求的函数的解析式为y=2x+3x﹣4．故选D．
2.【答案】C；
2【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即y?x?2x?5?x?2x?1?6?(x?1)?6，
222
2资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∵ a＝1＞0，∴ x＝-1时，y最小??6． 3.【答案】A； 4.【答案】D；
【解析】∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行， ∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称， 又∵ A(0，3)，
∴ AB＝4，yB＝yA＝3， ∴ 点B的坐标为(4，3)． 5.【答案】B；
【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，y?x?x的顶点坐标是??2?11?,??，y?x2?3x?2?24?的顶点坐标是?3?1??31?,??，∴ 移动的距离a??????2．
2?2??24?6.【答案】D；
【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，
而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．
观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴
为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．
∴ x＝1时，y＝-27． 二、填空题
7．【答案】y??x?2x?3；
【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则y??(x?1)(x?3)． 8．【答案】y=x﹣2x﹣3；
【解析】∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴
∴抛物线与x轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0） 设抛物线的解析式y=a（x+1）（x﹣3） 又∵抛物线过（2，﹣3）点 ∴﹣3=a（2+1）（2﹣3） 解得a=1
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）,即二次函数的解析式为y=x﹣2x﹣3．
9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；
2
2
2?b4ac?b2?b, 【解析】代入对称轴公式x??和顶点公式???即可.
2a4a??2a10．【答案】x?1； 22【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入y?x?bx?c中得b＝-1，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴ 对称轴为x?11．【答案】y?x?x?2；
【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，
从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式y?ax?bx?c， 2211，在对称轴的右侧，即x?时，y随x的增大而增大. 22用待定系数法求解．
设二次函数解析式为y?ax2?bx?c(a≠0)，
?a?b?c??2,?a?1, 由表知??c??2, 解得??b?1,
??a?b?c?0.??c??2. ∴ 二次函数解析式为y?x2?x?2． 12．【答案】y?12(x?3)2?2； 【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)． 三、解答题
13.【答案与解析】
(1)∵ 顶点是(1，2)，
∴ 设y?a(x?1)2?2(a≠0)．
又∵ 过点(2，3)，∴ a(2?1)2?2?3，∴ a＝1． ∴ y?(x?1)2?2，即y?x2?2x?3． (2)设二次函数解析式为y?ax2?bx?c(a≠0)．
?a?b? 由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得?c??1,?c?1,??a?b?c?13, 故所求的函数解析式为y?5x2?7x?1．
(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，
∴ 设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵ 过点(0，-3)， ∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a＝-1，
∴ y＝-(x-1)(x-3)，即y??x2?4x?3．
14.【答案与解析】
过C点作CD⊥x轴于D．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
?a?5,解得??b??7,
??c?1. 精品文档 用心整理
在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)． 由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD， ∴ AD＝OB＝2，CD＝AO＝1， ∴ C点的坐标为(3，1)．
设所求抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，
25?a?,?6?a?b?c?0,?17?? 则有?9a?3b?c?1，解得?b??，
6?c?2,???c?2.?? ∴ 所求抛物线的解析式为y?5217x?x?2． 66
15.【答案与解析】 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4）， 把B与C坐标代入y=﹣x+bx+c得：解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x+2x+4；
（2）∵y=﹣x+2x+4=﹣（x﹣2）+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
2
2
2
2
，
苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）
【学习目标】
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数y?ax?bx?c(a?0)与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
2 求二次函数y?ax?bx?c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax?bx?c?0中
22x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 一元二次方程 二次函数y?ax?bx?c(a?0) 图象 与x轴的交点坐标 抛物线y?ax?bx?c(a?0)与x轴交于(x1,0)，(x2,0)(x1?x2)两22△?b?4ac 2ax2?bx?c?0(a?0) 根的情况 一元二次方程 a?0 △＞0 ax2?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根a?0 ?b?b2?4ac点，且x1,2?， 2a 此时称抛物线与x轴相交 ?b?b2?4acx1,2? 2aa?0 △＝0 抛物线y?ax?bx?c(a?0)与x轴交切于??2一元二次方程 ax2?bx?c?0(a?0)a?0 ?b?,0?这一点，此时称有两个相等的实数根2a??bx1?x2?? 抛物线与x轴相切 2aa?0 △＜0 抛物线y?ax?bx?c(a?0)与x2一元二次方程 ax2?bx?c?0(a?0)a?0
要点诠释：
轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 在实数范围内无解（或称无实数根） 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，
，方程有两个不相等的实根；
，方程有两个相等的实根；
，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
y?ax2?bx?c(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数y?kx?b1(k?0)的交点问题．
抛物线y?ax?bx?c(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
2?y?kx?b1,抛物线y?ax?bx?c(a≠0)与一次函数y?kx?b1(k≠0)的交点个数由方程组?2?y?ax?bx?c2的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时?两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时?两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时?两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程1.作二次函数2. 确定一元二次方程
的步骤：
的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程二次方要点诠释： 求一元二次方程 (1)直接作出函数根；
的近似解的方法（图象法）：
的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的
的近似根．
的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
(2)先将方程变为的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为标系中画出抛物线
和直线
，移项后得
，设
和
，在同一坐
的
再在同一坐标系中画出抛物线
和直线
图象交点
的图象，图象交点的横坐标即为方程
根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线y?ax?bx?c与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1、x2是一元二次方程ax?bx?c=0的两个根．由根与系数的关系得x1?x2??222bc，x1x2?． aacb2?4acb2?4ac?b?22∴ |AB|?|x2?x1|?(x2?x1)?(x1?x2)?4x1x2????4?? ?2aa|a|a??即 |AB|?△（△＞0） |a|
要点四、抛物线与不等式的关系
22二次函数y?ax?bx?c(a≠0)与一元二次不等式ax?bx?c?0(a≠0)及ax?bx?c?0(a≠
20)之间的关系如下(x1?x2)：
a?0 判别式 抛物线y?ax2?bx?c与x轴的交点 不等式ax?bx?c?0的解集 2不等式ax?bx?c?0的解集 2△＞0 x?x1或x?x2 x1?x?x2 △＝0 x?x1（或x?x2） 无解 资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
△＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：
抛物线y?ax?bx?c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式
2ax2?bx?c?0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2?bx?c?0的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
1．已知二次函数y=(m-2)x+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1 ∵-1 ∴m-2<0，抛物线开口向下， 又m+1>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 2 Δ=4m-4(m-2)(m+1) 22 =4m-4(m-m-2) =4m+8 =4(m+1)+4>0. ∴抛物线与x轴有两个不同的交点. 【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点). 举一反三： 【课程名称：用函数观点看一元二次方程 356568 ：例3-4】 2 【变式】二次函数y=mx+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。 【答案】据题意，列?2 m?0?1∴m?. 28????2m?1??4m?m?1??0 类型二、利用图象法求一元二次方程的解 2．用图象法求一元二次方程y?x?2x?1的近似解(精确到0.1)． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 解法1：y?x?2x?1?(x?1)?2，即对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，-2)． 列表如下： x 1 -2 2 -1 2.5 0.25 3 2 22y?(x?1)2?2 描点连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图象如图所示．由图象知，当x≈-0.4或x≈2.4时，y＝0．因此方程x?2x?1?0的解的近似值为-0.4或2.4． 2 22解法2：将方程x?2x?1?0变形得x?2x?1．在同一坐标系中画出函数y?x与y＝2x+1的 2图象如图所示．抛物线y?x与直线y＝2x+1交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标分别约为-0.4或2.4，所以方程x?2x?1?0的近似解为x1≈-0.4，x2≈2.4． 22 【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而 观察得方程的近似解．第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数y?x与y＝2x+1的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们要注意从不同的角度去分析，培养多向思维的能力．可画出函数y?x?2x?1的图象，观察其与x轴的交点坐标，也可转化为求直线y＝2x+1与抛物线y?x的交点的横坐标． 222类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 3．（2015?通州区二模）已知：关于x的方程：mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0． （1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根； 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）若关于x的二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式． 【答案与解析】 解：（1）①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2； ②当m≠0时，方程为一元二次方程， △=[﹣（3m﹣1）]﹣4m（2m﹣2） 2 =m+2m+1 2 =（m+1）≥0，故方程有两个实数根； 故无论m为何值，方程恒有实数根． （2）∵二次函数y=mx﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2， ∴ 整理得，3m﹣2m﹣1=0， 解得m1=1（舍去），m2=﹣． 则函数解析式为y=x﹣2x或y=﹣x+2x﹣． 【总结升华】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是解题的关键． 举一反三： 【课程名称： 用函数观点看一元二次方程 356568 ：例6】 【变式】（2015?杭州模拟）关于x的一元二次方程x﹣x﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x﹣x﹣n的顶点在（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A. 提示：∵抛物线y=x﹣x﹣n的对称轴x=﹣∴可知抛物线的顶点在y轴的右侧， 又∵关于x的一元二次方程x﹣x﹣n=0没有实数根， 2 ∴开口向上的y=x﹣x﹣n与x轴没有交点， 2 ∴抛物线y=x﹣x﹣n的顶点在第一象限． 故选A． 4．已知：如图所示，一次函数y?2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =2， =， 1x?1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数2y?121x?bx?c的图象与一次函数y?x?1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点22坐标为（1，0）． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC的面积S． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 3?c?1,?12??b??,(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y?x?bx?c得?解之?2 1b?c??0,2???2?c?1.所以抛物线的解析式为y?123x?x?1． 221?y?x?1,??x0?4,?020(2)设C(x0，y0)，则有? 解得? 13y?3.?0?y?x2?x?1,000??22∴ C(4，3)． 由图可知：S?S△ACE?S△ABD． 3可知E(2，0)． 211119∴S?AE?y0?AD?OB??4?3??3?1?. 22222又由抛物线的对称轴为x?【总结升华】由图象知，抛物线经过点B(0，1)，D(1，0)．将B、D两点坐标代入抛物线的解析式中求出b、c的值．再联立方程组求出点C的坐标．由抛物线对称性求出点E的坐标．由 S?S△ACE?S△ABD，求出面积S． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1. 抛物线y??x?2kx?2与x轴的交点个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．以上答案都不对 2 2．（2015?温州模拟）已知二次函数y=x+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表： x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4 2﹣0.11 0.56 x+2x﹣10 ﹣1.39 ﹣0.76 那么方程x+2x﹣10=0的一个近似根是（ ） A．﹣4.1 B． ﹣4.2 C． ﹣4.3 23．已知函数y1?x与函数y2??22D．﹣4.4 1x?3的图象大致如图所示．若y1?y2，则自变量x的取值范围是2( ) 3333?x?2 B．?2?x? C．x?2或x?? D．x??2或x? 2222kk224．如图所示，抛物线y?x?1与双曲线y?的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式?x?1?0 xxA．?的解集是( ) A．x?1 B．x??1 C．0?x?1 D．?1?x?0 5．二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) A．a＞0，b＞0，b?4ac?0 B．a＜0，c＞0，b?4ac?0 C．a＞0，b＜0，b?4ac?0 D．a＞0，c＜0，b?4ac?0 22222 第3题 第4题 第5题 第6题 6．如图所示，二次函数y?ax?bx?c(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x轴交点的横坐标分别 为x1、x2，其中?2?x1??1，0?x2?1，下列结论： ①4a?2b?c?0；②2a?b?0；③a??1；④b?8a?4ac．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．二次函数y?x?2x?1的图象与x轴交点坐标为 ；与y轴的交点坐标为 ． 8．已知二次函数y?x?(2m?1)x?m?4m?4的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围 22222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 为 ． 9．抛物线y?x?x与直线y＝-3x+3的交点坐标为 ． 10．（2014秋?河南期末）如图是抛物线y=ax+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax+bx+c=0的两根是 ． 2 2 2 11．如图所示，已知抛物线y?x?bx?c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________． 12．如图所示，二次函数y?ax?bx?c(a≠0)．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐 标分别为-1和3，与y轴负半轴交于点C．下面四个结论：①2a?b?0；②a?b?c?0；③只有当a?221时，△ABD是等腰直角三角形；④使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个． 2那么其中正确的结论是___ _____．(只填你认为正确结论的序号) 三、解答题 13．已知函数y?mx?6x?1(m是常数) (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 14. 已知抛物线y?212x?x?c与x轴没有交点． 2(1)求c的取值范围； (2)试确定直线y?cx?1经过的象限，并说明理由． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 15．（2014?上城区校级模拟）已知关于x的函数y=（k﹣1）x+4x+k的图象与坐标轴只有2个交点，求k的值． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】∵ 一元二次方程?x?2kx?2?0的根的判别式为 △＝(2k)?4?(?1)?2?4k?8， 22 ∵ k?0，∴ △＝4k?8?0．故抛物线y??x?2kx?2与x轴有两个交点． 2222 22.【答案】C； 【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x+2x﹣10＜0.56， ∵0距﹣0.11近一些， ∴方程x+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C． 3.【答案】B； 2【解析】设y1?x与y2??2 2 1x?3的交点横坐标为x1，x2(x1?x2)，观察图象可知，当y1?y2时，2自变量x的取值范围是x1?x?x2，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标， ?y?x21?2联立?，可得x?x?3?0． 12?y??x?3?2 解得x1??2，x2?4. 【答案】D； 【解析】不等式 33，∴ ?2?x?． 22kk?x2?1?0可变形为??x2?1，由y?x2?1与y??x2?1关于原点对称， xxk2所以y?与y??x?1的交点与点A关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示， xk2观察图象可知??x?1的解集是?1?x?0． x资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 5.【答案】A； 【解析】由抛物线开口向上，知a＞0， 又∵ 抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴， ∴ c＜0．由对称轴在y轴左侧， ∴ ?b?0，∴ b＞0． 2a 又∵ 抛物线与x轴有两个交点， ∴ b?4ac?0，故选A． 6.【答案】D； 【解析】由图象可知，当x??2时，y＜0．所以4a?2b?c?0，即①成立；因为?2?x1??1， 20?x2?1，所以?1??成立； b?0，又因为抛物线开口向下，所以a＜0，所以2a?b?0，即②2a4ac?b2?2，所以b2?8a?4ac，即④亦成立(注意a＜0， 因为图象经过点(-1，2)，所以 4a两边乘以4a时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以a?b?c?2，即b?a?c?2，又∵ 4a?2b?c?0，∴ 2b?4a?c．∴ 2a?2c?4?4a?c， 即2a?c?4?2?4??2，∴ a??1，所以③成立． 二、填空题 7．【答案】(1?2，0)，(1?2，0)；(0，-1)． 【解析】对于y?x?2x?1，令x＝0，则y＝-1． ∴ 抛物线y?x?2x?1与y轴的交点坐标是(0，-1)． 令y＝0，则x?2x?1?0．解得x1?1?2，x2?1?2． ∴ 抛物线y?x?2x?1与x轴的交点坐标是(1?2，0)，(1?2，0)． 8．【答案】m??22223； 422【解析】∵ 二次函数y?x?(2m?1)x?m?4m?4的图象与x轴有两个交点， ∴ [?(2m?1)]?4(m?4m?4)?0． 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 即4m?4m?1?4m?16m?16?0， 解得m??223． 49．【答案】(-3，12)，(1，0)． 【解析】∵ 抛物线y?x?x与直线y＝-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同． 2?y?x2?x故可联立?，∴ x2?2x?3?0，x1??3，x2?1． ?y??3x?3将x1＝-3，x2＝1代入y＝-3x+3中得 ?x1??3?x2?1方程组的解为?，?． y?12y?0?1?2∴ 抛物线y?x?x与直线y＝-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)． 10．【答案】x1=﹣3，x2=1； 【解析】∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1， ∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则∴方程ax+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1． 11．【答案】?2 2=﹣1，解得x=1， 1等； 222 【解析】由题意x?bx?3?0的一个根在1与3之间，假设根为x?2，代入得2?2b?3?0 ∴ b??1，答案不唯一. 212．【答案】①③； 【解析】抛物线的对称轴为x??1?3b?1，∴ ??1，2a?b?0，①正确； 22a1②当x?1时，y?0即a?b?c?0，②错；③当a?时，顶点D的坐标为（1，-2）， 2△ABD为等腰直角三角形，又∵ 抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA不可能为直角，所以只有a?1时，△ABD是等腰直角三角形，∴ ③正确；△ACB为等腰三角形，有三种可能2性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵ OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC为等腰三角形的点C的位置只有两个，因此a的值也只能是两个，∴④错. 三、解答题 13.【答案与解析】 解： (1)当x＝0时，y＝1，所以不论m为何值， 函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点(0，1)． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (2)①当m＝0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点； 2②当m≠0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx?6x?1?0 2有两个相等的实数根，所以△＝(-6)-4m＝0，m＝9． 综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 14.【答案与解析】 解：（1）∵ 抛物线与x轴没有交点 ∴ △＜0，即1?2c?0．解得c? （2）∵ c?22 1， 21 ∴ 直线y?cx?1随x的增大而增大，∵ b?1 2 ∴ 直线y?cx?1经过第一、二、三象限． 15.【答案与解析】 解：分情况讨论： （ⅰ）k﹣1=0时，得k=1． 此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意； （ⅱ）k﹣1≠0时，得到一个二次函数． ①抛物线与x轴只有一个交点，△=16﹣4k（k﹣1）=0， 解得k= ； ②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0）， 把（0，0）代入函数解析式，得k=0． ∴k=1或0或 ． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 实际问题与二次函数—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识． 2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 【要点梳理】 要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点诠释： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【典型例题】 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 1. （2016?成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 【思路点拨】 （1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可； （2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）； （2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w， 则w=（600﹣5x）（100+x） 2 =﹣5x+100x+60000 2 =﹣5（x﹣10）+60500， 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键． 举一反三： 【课程名称：实际问题与二次函数 356777 ：练习讲解】 【变式】（2015?营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【答案】22. 【解析】 解：设定价为x元， 2 根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）] =﹣2x+88x﹣870 2 ∴y=﹣2x+88x﹣870， 2 =﹣2（x﹣22）+98 ∵a=﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x=22时，y最大值=98． 故答案为：22． 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以 O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架” 总长的最大值是多少? 【答案与解析】 (1)M(12，0)，P(6，6)． (2)设抛物线解析式为：y?a(x?6)?6． ∵ 抛物线y?a(x?6)?6经过点(0，0)， 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴ 0?a(0?6)?6，即a??∴ 抛物线解析式为：y??21． 611(x?6)2?6，即y??x2?2x． 66??121???m?2m?，D?m,?m2?2m?． 66???(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C?12?m,?∴ 支撑架总长AD?DC?CB????12??1?m?2m??(12?2m)???m2?2m? ?6??6?11??m2?2m?12??(m?3)2?15． 33∵ 此二次函数的图象开口向下． ∴ 当m＝3时，。AD+DC+CB有最大值为15米． 【点评】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m，0)， 用含m的式子表示支撑架总长AD+DC+CB，根据函数性质求解． 类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 3．某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面102m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，3必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这条抛物线的关系式； (2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为33m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由． 5 【答案与解析】 (1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为y?ax?bx?c． 由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为 22． 3资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 25?3a??,??a??,?c?0,6??2?2?104ac?b2??, 或 ? ∴ ? 解得?b??,?b??2, 33???4a????4a?2b?c??10.??c?0.?c?0.? ∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，∴ ? 又∵ 抛物线开口向下， b?0， 2a2510，b?，c＝0． 6325210 ∴ 抛物线关系式为y??x?x． 633 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即 5 ∴ a＜0，b＞0，∴ a??3816?25??8?108 x?3?2?时，y???． ????????5565353???? ∴ 此时运动员距水面的高为10?21614??5(m)． 33 因此，此次跳水会出现失误． 【点评】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B三点，O、B两点的坐标由分析可知 O(0，0)、B(2，-10)，且点A的纵坐标为 22，故可设抛物线y?ax?bx?c，求得a、b、c3的值．(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5米． 举一反三： 【课程名称： 实际问题与二次函数 356777 ：例2】 【变式】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离 为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】如图建立直角坐标系. ∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点 ∴设解析式为：y?a(x?2.5)2?3.5(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴y??0.2(x?2.5)2?3.5（0≤x≤4）， 即y??0.2x2?x?2.25, 当x=0时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米. 类型四、利用二次函数求图形面积问题 4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长 度160 m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积? 【思路点拨】 利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x的函数关系式，写成顶点 式即可求出面积的最大值． 【答案与解析】 2 设所围场地总面积是y m，根据题意得 y?x(160?4x)??4x2?160x ??4(x?20)2?1600． 所以分隔墙在地面上的长度x为20m时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m． 【点评】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系， 再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积。 2 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 实际问题与二次函数—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足y??20x?1400x?20000， 则获利最多为( )元. A.4500 B.5500 C.450 D.20000 2．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y?ax?bx?c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )． A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）. A．5元 B．10元 C．0元 D．3600元 2 4．（2015?路南区二模）设计师以y=2x﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）. A．17 B． 11 C． 8 D．7 5．某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )． A．14元 B．15元 C．16元 D．18元 6．（2016?衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积 2 的最大值为 m． 二、填空题 7．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6-x)个，则当x＝_______元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 8．（2015?六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 . 9．有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为______ ______. 10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是： y??1225x?x?，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m. 1233资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 y M A y B A x O x OO第11题 第10题 第12题 B 11．某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与 墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面 40m，则水流落地点B离墙的距离OB 3是 m. 12．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的 出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ． 三、解答题 13．某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量 就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润? 14.（2015?东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ （3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积． 15．（2016?咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ 【答案与解析】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】 ，所以当 时，获利最多为4500 元，故选A. 2.【答案】B； 【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线的对称轴为x＝10.5．即在第10秒中炮弹所在高度最高． 3.【答案】A； 【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点 式后直接解答． 4.【答案】B； 22 【解析】∵y=2x﹣4x+8=2（x﹣1）+6， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，6）， ∵AB=4， ∴B点的横坐标为x=3， 2 把x=3代入y=2x﹣4x+8，得到y=14， ∴CD=14﹣6=8， ∴CE=CD+DE=8+3=11． 故选：B． 5.【答案】C； 【解析】设每张床位的定价为x元，总租金为y元，则y与x之间的函数关系式 为y?x?100???x?10??10? ??5(x?15)2?1125，因为要使租出的床位少且租金高， 2?所以x＝16． 6.【答案】144 2 【解析】如图，设设总占地面积为S（m），CD的长度为x（m）， 由题意知：AB=CD=EF=GH=x， ∴BH=48﹣4x， ∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， 2 ∴S=AB?BH=x（48﹣4x）=﹣4（x﹣6）+144 ∴x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144． 二、填空题 7．【答案】3； 【解析】y＝x(6-x)，当x??6?3时，y最大． 2?(?1)资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 8．【答案】64m； 【解析】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym， 22 根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x+16x=﹣（x﹣8）+64， 2 当x=8m时，ymax=64m， 2 则所围成矩形ABCD的最大面积是64m． 9．【答案】 ； ，把点(40，0)代入得. ， 2 2 【解析】由图知其顶点为(20，16)，所以令 所以解析式为10．【答案】10； 【解析】令y?0，则：x?8x?20?0 (x?2)(x?10)?0，x??2（舍去），x?10. 11．【答案】3； 2404010，将点(0,10)代入，a?? )，设y?a(x?1)2?33310402令y??(x?1)??0，得：(x?1)2?4，所以OB=3. 331212．【答案】y??x?2x?1；16.5. 812【解析】设y?a(x?8)?9，将点A(0,1)代入，得a?? 811y??(x?8)2?9??x2?2x?1 8812令y?0，得y??(x?8)?9?0 8(x?8)2?8?9 【解析】顶点为(1,x?8?62，C(8?62,0)，∴OC?8?62?16.5(米) 三、解答题 13.【答案与解析】 设单价定为x元时，月利润为y元，根据题意，得 x?50??2??10(x?70)?9000． y?(x?40)?500?20??2??即单价定为70元时，可获得最大利润9000元． 14.【答案与解析】 解：（1）∵AB=x， ∴BC=24﹣4x， ∴S=AB?BC=x（24﹣4x）=﹣4x+24x（0＜x＜6）； 22 （2）S=﹣4x+24x=﹣4（x﹣3）+36， ∵0＜x＜6， 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴当x=3时，S有最大值为36； （3）∵ ， ∴4≤x＜6， ∴当x=4时，花圃的最大面积为32． 15.【答案与解析】 解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100． （2）设每星期利润为W元， 2 W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）+6750． ∴x=55时，W最大值=6750． ∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． （3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58， 当x=52时，销售300+30×8=540， 当x=58时，销售300+30×2=360， ∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际 问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【要点梳理】 要点一、二次函数的定义 一般地，如果要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① ；② ；③ ；④ ， 是常数， ，那么 叫做的二次函数. 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 当 时 (，0) 开口向下 开口方向 当时 对称轴 ((轴) 轴) 顶点坐标 (0，0) (0，) 开口向上 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (，) 2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当物线的开口大小、形状相同. (2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， () 时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛 轴记作直线. 3.抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)中，a,b,c的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与 中的完全一样. 的对称轴是直线 轴左侧；③ ， (即 (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 故：① 时，对称轴为 轴；② (即、同号)时，对称轴在 、异号)时，对称轴在 (3)的大小决定抛物线 当 ① 时， 轴右侧. 与 轴交点的位置. 与 ，与 轴有且只有一个交点(0，)： ，与 轴交于负半轴. . ，∴抛物线 ，抛物线经过原点； ②轴交于正半轴；③ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式： (2)顶点式： (可以看成 轴右侧，则 （a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. （a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 的图象平移后所对应的函数.) 、 ，通常选用交点式： ). (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标 要点诠释： （a≠0）.(由此得根与系数的关系： 求抛物线y?ax?bx?c（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一 元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程有两个不相等实根； ，则方程有两个相等实根； ，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 方程有两个不等实数解 的解 要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定. ，则方程有两个不相等实根； ，则方程有两个相等实根； 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 要点四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【典型例题】 类型一、求二次函数的解析式 1．已知二次函数的图象经过原点及点??则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 y???11?,??，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，24??121x?x或y?x2?x． 33【解析】 正确找出图象与x轴的另一交点坐标是解题关键． 由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为y?ax?bx?c． 2?c?0,?c?0,?11?1111??则有???a?b?c，或???a?b?c, 22?44?44???a?b?c?0?a?b?c?0,1?a???3?a?1,?1??解之?b?，或?b?1, 3?c?0.???c?0?? 因此所求二次函数解析式为y??121x?x或y?x2?x． 33 【点评] 此题容易出错漏解的错误． 举一反三： 【课程名称：二次函数复习 357019 ：(1)-（2）问精讲】 2 【变式】已知：抛物线y=x+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4 ∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0) ?b?b=-2???1??2 ?? c=-3???1?b?c?0资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴y=x-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4 ∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0) 2 ?b?b=-2???1??2 ?? c=-3???1?b?c?0∴y=x-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4). 2 类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号 2．二次函数y?ax?bx?c的图象如图1所示，反比例函数y?一坐标系中的大致图象可能是( )． 2a与正比例函数y＝(b+c)x在同x 【答案】B； 【解析】由y?ax?bx?c的图象开口向上得a＞0，又? 由抛物线与y轴负半轴相交得c＜0． ∵ a＞0，∴ y?2b?0，∴ b＜0． 2aa的图象在第一、三象限． x ∵ b+c＜0，∴ y＝(b+c)x的图象在第二、四象限． 同时满足y?a和y?(b?c)x图象的只有B． x【点评】由图1得到a、b、c的符号及其相互关系，去判断选项的正误. 类型三、数形结合 3．（2015?陕西模拟）已知二次函数y=ax+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则： ①b=﹣2； 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ②该二次函数图象与y轴交于负半轴； ③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； 2 ④若a=1，则OA?OB=OC． 以上说法正确的有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【思路点拨】 ①二次函数y=ax+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），因而将M、N两点坐标代 入即可消去a、c解得b值． ②根据图象的特点及与直线MN比较，可知当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方． ③同②理． ④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA?OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证． 【答案】C； 2 【解析】①∵二次函数y=ax+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2）， ∴ ， 2 解得b=﹣2．故该选项正确． 2 ②方法一：∵二次函数y=ax+bx+c，a＞0 ∴该二次函数图象开口向上 ∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2）， ∴直线MN的解析式为y﹣2= ， 即y=﹣2x， 根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方， ∴该二次函数图象与y轴交于负半轴； 方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0， 所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确． ③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误． 2 ④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣1 2 当y=0时，0=x﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x1?x2=c， 即OA?OB=|c|， 2 当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC， 2 ∴若a=1，则OA?OB=OC，故该选项正确． 总上所述①②④正确．故选C． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系． 类型四、函数与方程 4．（2016?台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（ ） 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．1 B． C． D． 【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可． 【答案】D． 【解析】 22 解：∵y=﹣x+4x﹣k=﹣（x﹣2）+4﹣k， ∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k）， ∴OC=k， ∵△ABC的面积=AB?OC=AB?k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4， ∴k=（4﹣k）， 解得：k=． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 举一反三： 【变式1】无论x为何实数，二次函数 A． C．【答案】二次函数 即 【变式2】对于二次函数则二次函数 B． D． 的图象永远在x轴的下方的条件是( ) 无解， 的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程 ．又图象永远在x轴下方，则 ． 答案：B ，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点， (m为实数)的零点的个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．不能确定 【答案】当y=0时， ， ， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 即二次函数 故选B. 的零点个数是2． 类型五、分类讨论 25．已知点A(1，1)在二次函数y?x?2ax?b的图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】 2 (1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b-4ac＝0求出a． 【答案与解析】 (1)因为点A(1，1)在二次函数y?x?2ax?b的图象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a． (2)根据题意，方程x?2ax?b?0有两个相等的实数根，所以4a?4b?4a?8a?0， 解得a＝0或a＝2． 2 当a＝0时，y＝x，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a＝2时，y?x?4x?4?(x?2)， 这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)． 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)． 2【点评】二次函数y?ax?b?c(a?0)的图象与x轴只有一个交点时，方程ax?bx?c?0有两个 2222222相等的实数根，所以△?b?4ac?0． 2 类型六、二次函数与实际问题 6．（2015?黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x元 （x为正整数），每星期的利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】 （1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x，销售量=500+100x，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x的取值范围； （2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】 解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）?（500+100x）=﹣100x+500x+5000， 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∵ ∴3≤x≤8； （2）y=﹣100x+500x+5000=﹣100（x﹣）+5625， ∵5600＜5625， ∴5600不是最大利润． （3）当y=5000时，y=﹣100x+500x+5000=5000， 解得x1=0，x2=5， 故当0≤x≤5时，y≥5000， 即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题． 2 2 ， 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．将二次函数y?x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A．y?(x?1)?2 B．y?(x?1)?2 C．y?(x?1)?2 D．y?(x?1)?2 2．二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则一次函数y?bx?b?4ac与反比例函数y?在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 2222222a?b?c x 2 3．（2016?永州）抛物线y=x+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．y?x?x?2 B．y??212111x?x?1 C．y??x2?x?1 D．y??x2?x?2 2222 2 5．（2014?巴中）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（ ） A． abc＜0 B． ﹣3a+c＜0 2 C． b﹣4ac≥0 2 D． 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax+c 6．已知点(x1，y1)，(x2，y2)(两点不重合)均在抛物线y?x?1上，则下列说法正确的是( )． A．若y1?y2，则x1?x2 B．若x1??x2，则y1??y2 C．若0?x1?x2，则y1?y2 D．若x1?x2?0，则y1?y2 7．在反比例函数y?图中的( )． 2a2中，当x?0时，y随x的增大而减小，则二次函数y?ax?ax的图象大致是x 8．已知二次函数y?ax?bx?c(其中a?0，b?0，c?0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 2 9．（2014?长春一模）如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 10．抛物线y??x?bx?c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线y?2(x?2)?6的顶点为C，已知y＝-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐 标轴所围成的三角形面积为________． 212．已知二次函数y??x?2x?m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程?x?2x?m?0的 222解为___ _____． 第10题 第12题 第13题 22 13．如图所示的抛物线是二次函数y?ax?3x?a?1的图象，那么a的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h??t?20t?1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________． 15．已知抛物线y?ax?bx?c经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________． 16．若二次函数y?x?6x?c的图象过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(3?2，y3)三点，则y1、y2、y3大小关系是 . 三、解答题 17．（2016?河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x y … … ﹣3 3 ﹣ ﹣2 m ﹣1 ﹣1 0 0 1 ﹣1 2 0 3 3 … … 2 22522资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 其中，m= ． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： 2 ①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x﹣2|x|=0有 个实数根； 2 ②方程x﹣2|x|=2有 个实数根； 2 ③关于x的方程x﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 ． 18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米． (1)用含x的式子表示横向甬道的面积； (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； (3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比 例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元? 19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元． (1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； (2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯? 20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了30 分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y的关系如图1所示， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间． (1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式； (3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大? (注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量) 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】y?x向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2）， 开口方向及大小不变，所以a?1，即y?(x?1)?2． 2.【答案】D； 【解析】由上图可知a?0，c?0，?22b?0，∴ b?0．a?b?c?0．b2?4ac?0， 2a∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D． 3.【答案】A. 2 【解析】∵抛物线y=x+2x+m﹣1与x轴有两个交点， 2 ∴△=b﹣4ac＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m＜2， 故选A． 4.【答案】D； 【解析】由图象知，抛物线与x轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以a?0， 抛物线与y轴交点纵坐标大于1．显然A、B、C不合题意，故选D． 5.【答案】B； 【解析】A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误； B．根据图知对称轴为直线x=2，即 =2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时， y=a+b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确； 2 C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b﹣4ac＞0，故本选项错误； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2 D．y=ax+bx+c=∵ =2， ， ∴原式=， ∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为故选：B． 6.【答案】D； ，故本选项错误； 【解析】画出y?x?1的图象，对称轴为x?0，若y1?y2，则x1??x2；若x1??x2，则y1?y2； 若0?x1?x2，则y2?y1；若x1?x2?0，则y1?y2． 7．【答案】A； 【解析】因为y?2a2，当x?0时，y随x增大而减小，所以a＞0，因此抛物线y?ax?ax?a(x?1)x x开口向上，且与x轴相交于（0，0）和（1，0）． 8．【答案】C； 【解析】∵ a?0，b?0，∴ 抛物线开口向上，x??不可能在第四象限；又c?0， x1·x2?b?0，因此抛物线顶点在y轴的左侧， 2ac?0，抛物线与x轴交于原点的两侧， a因此①③是正确的． 二、填空题 2 9．【答案】y=﹣x+2x+3； 2 【解析】∵抛物线y=﹣x+bx+c的对称轴为直线x=1， ∴=1，解得b=2， ∵与x轴的一个交点为（3，0）， ∴0=﹣9+6+c， 解得c=3， 故函数解析式为y=﹣x+2x+3． 10．【答案】y??x?2x?3； 【解析】由题意和图象知抛物线与x轴两交点为（3，0）、（-1，0）， ∴ 抛物线解析式为y??(x?3)(x?1)，即y??x?2x?3． 11．【答案】1； 【解析】k?222 99?2?，y??x?3，与坐标轴交点为(0，3)，?,0?． 22?3?资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 12．【答案】 x1＝3或x2＝-1 ； 【解析】由二次函数y??x?2x?m部分图象知，与x轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m＝3，解方程得x1＝3或x2＝-1． 13．【答案】-1； 【解析】因为抛物线过原点，所以a?1?0，即a??1，又抛物线开口向下，所以a＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】t??2220?4(s)． ?5?2?????2?15．【答案】(1，-6)； 【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会 注意到：A、B两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得， 对称轴x??1?5?2，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x＝2的对称2点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)． 16．【答案】y1＞y3＞y2． 【解析】因为抛物线的对称轴为x??6?3．而A、B在对称轴左侧，且y随x的增大而减小， 2?3∵ -1＜2，∴ y1＞y2，又C在对称轴右侧，且A、B、C三点到对称轴的距离分别 为2，1，2，由对称性可知：y1＞y3＞y2． 三、解答题 17.【答案与解析】 2 解：（1）把x=﹣2代入y=x﹣2|x|得y=0， 即m=0， 故答案为：0； （2）如图所示； 2 （3）由函数图象知：①函数y=x﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大； 2 （4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x﹣2|x|=0有3个实数根； 2 ②如图，∵y=x﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点， 2 ∴x﹣2|x|=2有2个实数根； 2 ③由函数图象知：∵关于x的方程x﹣2|x|=a有4个实数根， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0， 故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为 120?180?150x(m2)． 21120?1802(2)依题意：2?80x?150x?2x???80， 82整理得x?155x?750?0，解得x1＝5，x2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米． 2 (3)设建花坛的总费用为y万元，则y?0.02?? ∴ y＝0.04x-0.5x+240． 当x??2 ?120?180??80?(160x?150x?2x2)??5.7x． 2??b0.5??6.25时，y的值最小． 2a2?0.04 ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m． 2 ∴ 当x＝6m时，总费用最少，为0.04×6-0.5×6+240＝238.44(万元)． 19.【答案与解析】 (1)由题意可知，当x≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500 元/个，所以x?5000?3500?100?250，即100≤x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元． 102 故y1＝6000x-10x； 当x＞250时，购买一个需3500元． 故y1＝3500x． ?5000x?2 所以y1??6000x?10x?3500x?(0?x?100),(100?x?250), (x?250), y2＝5000×80%x＝4000x． (2)当0＜x≤100时，y1＝5000x≤500000＜1400000； 22 当100＜x≤250时，y1＝6000x-10x＝-10(x-300)+900000＜1400000； 所以，由3500x＝1400000，得x＝400． 由4000x＝1400000，得x＝350． 故选择甲商家，最多能购买400个路灯． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 20.【答案与解析】 (1)设y＝kx，把(2，4)代入，得k＝2，所以y＝2x，自变量x的取值范围是：0≤x≤30． 2 (2)当0≤x＜5时，设y＝a(x-5)+25， 把(0，0)代入，得25a+25＝0，a＝-1， 所以y??(x?5)?25??x?10x． 当5≤x≤15时，y＝25． 22??x2?10x(0?x?5), 即y?? ?25(5?x?15). (3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x＜5)分钟，学习收益总量为Z，则他用于解题的时间为(30-x) 分钟． 当0≤x＜5时，Z??x?10x?2(30?x)??x?8x?60??(x?4)?76． 所以当x＝4时，Z最大?76． 当5≤x≤15时，Z＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为Z随x的增大而减小， 所以当x＝5时，Z最大?75． 综合所述，当x＝4时，Z最大?76，此时30-x＝26． 即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大． 222苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2．比例的性质： ac?，那么ad?bc. bdaca+bc+d（2）合比性质：如果=，那么=. bdbdaca-bc-d 如果=，那么=. bdbd（1）基本性质：如果 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 ACBC?,那么线段AB被点C黄金分ABAC割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释： AC?5?15?1 叫做黄金分割值). AB≈0.618AB( 22 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： 1AB. 2（2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A．2a=3b B．3a=2b C． D． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案】B． 【解析】A、2a=3b?a：b=3：2，故选项错误； B、3a=2b?a：b=2：3，故选项正确； C、=?b：a=2：3，故选项错误； D、 =?a：b=3：2，故选项错误． 故选B． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A．2a=5b B. 【答案】C． aba?b7? C. a+b=7 D.? 52b2222x?3yz?zxyz2. 设??，求的值． 22234x?2xy?z【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设 xyz＝k ??234则x＝2k，y＝3k，z＝4k 2222?(2k)?3?3k?4k?(4k)1?12k原式＝＝＝ (2k)2?2?2k?3k?(4k)2?24k22【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因 式约去． 类型二、黄金分割 3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即 AB＝5?1≈0.618） ，如果在其内作正方形CDEF，得 BC2到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？ 【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为5?1，则这种矩形叫做黄金矩形． 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 AE＝5?1即可． AB2 （2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形． 理由如下：因为 AE＝AD?EDADED ??ABABABAB＝ 25?1?1?2(5?1)(5?1)(5?1)?1?5?15?1 ?1?22所以矩形ABFE也是黄金矩形． 【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三： 【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示， （1）求AM，DM的长， （2）试说明AM2=AD·DM （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点， ∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°， ∴PD＝ AP2?AD2?5。 ∵PF＝PD， ∴AF＝5?1 ，在正方形ABCD中，AM＝AF＝5?1，MD＝AD－AM＝3－5 （2）由（1）得AD×DM＝2（3－5）＝6－25， AM2?(5?1)2?6?25 ∴AM=AD·DM． （3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点． 4. （2015?慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）. 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A. 144° B. 135° C. 136° D. 108° 【答案】B. 【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6， 根据题意得：x：y=0.6=3：5， 又∵x+y=360， 则x=360×=135 【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式. 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 比例线段及黄金分割（基础） 巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（ ）. A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km 2. （2016?滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（ ） A． B． C． D． 3.若abc，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（ ）. ??57814 3A．14 B.42 C.7 D.4.如果（x+y）：（x-y）=3，那么x：y等于（ ）. A.-2 B.2 C.-3 D.3 5. （2014秋?滕州市校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（ ）. A. B. C. D. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 二. 填空题 7. （2015?慈溪市一模）若3a=4b，则= . 8. （2016?浦东新区一模）已知 ，那么 = ． 9．已知：x?yx?yy?________________． ?，则y7410.已知 x2x?yxx?y?_____,?_____,?______.. =,则yx?yx?yy311. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为 __________cm（结果精确到0.1cm）. 12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为5?1的三角形是黄金三角形），若△ABC、2△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________． 三. 综合题 13. （2014春?通川区校级期中）已知： ，求代数式 的值． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 14.若 15.图1是一张宽与长之比为a?2bc?5，且2a-b+3c=21，求4a-3b+c的值． ??3465?1：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按2图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B． 【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺． 2.【答案】D. 【解析】A、B、C、D、 ?ab=30，故选项错误； ?ab=30，故选项错误； ?6a=5b，故选项错误； ?5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确． 故选D． 3．【答案】D． 【解析】设a=5k，则b=7k，c=8k，又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3， 1， 358714即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．故选D． 3333得k=4．【答案】B. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 5．【答案】B. 【解析】根据题意得AP= 所以PB=AB﹣AP=所以PB：AB= ． AB， AB， 6．【答案】C. 【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：解得：y≈8cm．故选C． 二、填空题 7.【答案】 99+y=0.618， 165+y4； 3【解析】两边都除以3b，得=. 8.【答案】． 【解析】∵根据合比定理，知 的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴ = =4； ， 又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1， ∴ ． 9.【答案】?1． 4x?yy?，即4（x+y）=7y，4x=3y， 74【解析】由题意，得x=x?y31??． y，∴y4410.【答案】,,?. 【解析】提示：设x?2k.y?3k,即可得. 11.【答案】6.2或3.8． 【解析】由题意知AC：AB=BC：AC， ∴AC：AB≈0.618， ∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8． 故答案为：6.2或3.8． 523515资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 12.【答案】6-25． 【解析】根据题意可知，BC=5?1AB， 2∵△ABC顶角是36°的等腰三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°， 又∵△BDC也是黄金三角形， ∴∠CBD=36°，BC=BD， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A， ∴BD=AD，同理可证DE=DC， ∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-5?1AB=6-25． 2故答案为：6-25． 三、解答题 13.【解析】解：设 =t， ∴， 解得，， ∴==． 14.【解析】令a?2bc?5=k，则a+2=3k，b=4k，c+5=6k， ??346即a=3k-2，b=4k，c=6k-5， ∵2a-b+3c=21， ∴2（3k-2）-4k+3（6k-5）=21， ∴k=2． ∴a=4，b=8，c=7． ∴4a-3b+c=4×4-3×8+7=-1． 15.【解析】矩形EFDC是黄金矩形， 证明：∵四边形ABEF是正方形， ∴AB=DC=AF， 又∵5?1AB=， 2AD∴5?1AF=， 2AD资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 即点F是线段AD的黄金分割点． ∴5?1FDAF=， ?2AFAD5?1FD=， 2DC∴∴矩形CDFE是黄金矩形． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 相似多边形--知识讲解 【学习目标】 1、掌握相似多边形的概念及性质运用； 2、掌握相似三角形的概念及相关求值问题. 【要点梳理】 要点一、相似三角形 定义:在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，那么△ABC和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′． 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形的对应边的比叫作相似比. 一般地，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为 ABBCCA??，A'B'B'C'C'A'1. k要点诠释： 全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例. 要点二、相似多边形 相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 要点诠释： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【典型例题】 类型一、相似三角形 1.已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°． 求：（1）∠ACB的度数； （2）DE的长． 【思路点拨】 根据三角形相似，对应角相等，对应边的比相等，可以把本题转化为求∠AED的问题，再根据对应边的比相等，就可以求出DE的长． 【答案与解析】 ∵∠A=56°，∠ADE=40°， ∴∠AED=84°． ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ACB=∠AED=84°， DEAD． ?BCABDE6∴?． 1210∴DE=7.2（cm）． 【总结升华】本题主要考查了相似三角形的性质，对应角相等，对应边的比相等． 2. 如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平 分线，交BI延长线于E，连接CI． （1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E； （2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长． 【思路点拨】（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解． （2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 （1）∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠AIE=1(?BAC??ABC) 211?ACD=(?BAC??ABC) 221?BAC=α 2又∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ACE=∴∠AIE=∠ACE 即∠E=∠IAC=∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC， ∴CI平分∠BCA， 又∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠ICE=90°， ∴∠BIC=90°+∠E， 即∠BIC=90°+α. （2）解：∵CI是∠BCA的平分线，CE是∠ACB的外角平分线， ∴∠ICE=∠ICA+∠ACE=11∠ACB+∠ACD=90°， 22分情况讨论： ①当△ABC∽△ICE时，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠IEC=α， 所以α=30°，AC=2 ②当△ACB∽△ICE时，∠ACB=∠ICE=90°，∠ABC=∠IEC=α， 所以α=30°，AC=1． 21∠BAC=45°， 2③当△BAC∽△ICE时，∠BAC=∠ICE=90°，∠IEC=所以∠ABC=∠ACB=45°，AC=AB=1． 【总结升华】两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键． 举一反三 【变式】已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4． （1）求BD、CD的长； （2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长． 【答案】（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得： BC=AB2?AC2=5， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∵Rt△ABC∽Rt△BDC， ABBCAC， ??BDDCBC354??， BDDC51525∴BD=，CD=； 44∴（2）在Rt△BDC中， 11BE?CD=BD?BC， 2215×5BD×BC4∴BE===3. 25CD4S△BDC=类型二、相似多边形 3.（2014?镇江） 如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20． （1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由； （2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？ 【答案与解析】 解：（1）不相似， AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18， 而 ≠ ； = ， （2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则则： = ， 解得x=1.5， 或 = ， 解得x=9． ∴当x=1.5或9时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似. 【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可. 举一反三 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为（ ） A.1:2 B. 2:3 C. 2:5 D.4:9 【答案】D. 4.（2014?南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD． （1）求证：EB=GD； （2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长． 【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP?最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD， ∴∠EAG=∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB=∠GAD， ∵AE=AG，AB=AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB=GD； （2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BP=AB=1， AP=∴EP=2∴EB= ， = = ， = ，AE=AG= ， 1AB?1，然后求得EP=22， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴GD= ． 【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 相似图形--巩固练习 【巩固练习】 一. 选择题 1. 下面图形中，相似的一组是（ ）． A．B． C．D． 2. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）． A. B. C. D. 3.（2014?闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ） A． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B． 图形中线段的长度与角的大小都会改变 C． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 4. 若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（ ）． A． △ABC∽△A′B′C′ B．△ABC与△A′B′C′的相似比为1 41 3Ｃ．△ABC与△A′B′C′的对应角相等 Ｄ．△ABC与△A′B′C′的相似比为 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 5.如图，下列图中与它相似的是（ ）． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）． A. 5?15?1 B. C.3 D.2 22 二. 填空题 7.下列图形中是_________与_______相似的． （1）（2）（3）（4） 8. 用“正确”与“错误”填空： （1）所有的三角形都相似_________； （2）所有的梯形都相似__________； （3）所有的等腰三角形都相似_______； （4）所有的直角三角形都相似_________； （5）所有的矩形都相似_________； （6）所有的平行四边形都相似_______； （7）大小的中国地图相似_________； （8）所有的正多边形都相似_________． 9.（2015?和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是 m． 10. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________. 11. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________. 12.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________. 三．综合题 13.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm， 根据题意，得x?2x=288． 解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m） 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2． 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？． 结果为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样… （2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 14.（2014秋?慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 15.如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？ 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D． 【解析】A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误； B、形状不同，不符合相似形的定义，故错误； C、对应边的比值不相等，不符合相似形的定义，故错误； D、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确． 故选D． 2．【答案】D． 【解析】A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故选项不符合要求； B：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求； C：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故选项符合要求；故选D． 3．【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等， ∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 4．【答案】B． 【解析】A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确； B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为1，错误； 31，正确． 3C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确； D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为故选B． 5．【答案】A． 【解析】A、与原图形状相同，大小不同，符合相似性的定义，故正确； B、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误； C、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误； D、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误； 故选A 6．【答案】B. 【解析】∵AB=1， 设AD=x，则FD=x-1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， EFAD?， FDAB1x?， x?11∴解得x1=1+51-5,x2=,（负值舍去）， 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1+5是原方程的解．故选B． 2经检验x1=二、填空题 7.【答案】图形中是（1）与（4）相似的． 8.【答案】（1）错误，（2）错误，（3）错误，（4）错误，（5）错误，（6）错误，（7）正确，（8）错误． 9.【答案】20. 【解析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym， 由题意得，== ， 解得x=y=20． 即其他两边的实际长度都是20m． 10.【答案】 ； 【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故. 11.【答案】2:1； 【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=BFEFa，根据矩形相似，对应边的比相等得到：?,即：ABBC2a22=b，则b2=a 2baa2a2∴2=2,∴= b1b 12. 【答案】1. 256【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点， ∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1， ∵正六角星形AFBDCE的面积为1， 1， 411同理可得，第三个六角形的面积为：3=， 4641111第四个六角形的面积为：??=， 1644256∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 故答案为：1256. 三．解答题 13.【答案与解析】 （1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym，则长为2ym． 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m． ∵2y?3?1y?1?1?2y?4y?2?2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1； （2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 就要A'D'ADAD?(a?cAB?AB，即)''AB?(b?d)?21， 即2AB?(a?c)AB?(b?d)?21， 即2AB-2（b+d）=2AB-（a+c）， ∴a+c=2（b+d）， 即a?cb?d?2． 14.【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=， ∴DM?BC=AB?MN，即BC2 =4， ∴BC=2，即它的另一边长为2； （2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似， ∴ = ， ∵AB=CD=2，BC=4， ∴DF= =1， ∴矩形EFDC的面积=CD?DF=2×1=2． 15.【答案与解析】 解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA， 由于∠PBQ=∠ADC=90°， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 PBBQ时， ?CDDA10?x2x即， ?1020当解得x=5； ②设经x秒后，△QBP∽△CDA， 由于∠PBQ=∠ADC=90°， PBBQ， ?ADDC10?x2x即， ?2010当解得x=2． 故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 探索三角形相似的条件（基础）知识讲解 【学习目标】 1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用； 2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法； 3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 【要点梳理】 要点一、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有 （1） ABDEABDEBCEF（2）（3）成立. ???BCEFACDFACDEABCaDEFbl1l2DABCEal1l2A(D)BCal1l2EFbl3Fbl3l3 要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 2.平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 要点诠释： 这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理. 要点二、相似三角形的判定定理 【课程名称： 相似三角形的判定（1） 394497相似三角形的判定】 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换： 要点四、三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 【典型例题】 类型一、平行线分线段成比例定理 1.如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与AD相等的是（ ） AF资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A. ABCDBOBC B . C . D. EFEFOEBEADBC. ?AFBE【答案】D. 【解析】根据AB∥CD∥EF得到：故选：D． 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三： 【变式】如图已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值. AP NM BDC【答案】 解：∵AB=AC，AD⊥BC, ∴BD=DC. ∵DN∥CP, ∴BN=NP又AM=MD. ∴AP=PN= =2cm. 中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出 2. 如图所示，已知 图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. ∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比 当△BEF∽△AED时，相似比 当△CDF∽△AED时，相似比 ； ； . 【总结升华】此题考查了平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.以及相似三角形的性质定理求得相似比.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想. 类型二、相似三角形的判定 3.（2014?金平区模拟）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F． （1）证明：△ABD∽△DCF； （2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形． 【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可； （2）利用对顶角的性质以及相似三角形的判定定理进行判断即可． 【答案与解析】 （1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠3=60°， ∴∠1+∠2=∠DFC+∠2， ∴∠1=∠DFC， ∴△ABD∽△DCF； （2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC， ∴△AEF∽△DCF， ∴△ABD∽△AEF， 故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键． 【课程名称： 相似三角形的判定（2） 394499：例4及变式应用】 【变式】 （2014秋?宁波期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=证：△ACD∽△ABC． ．求 【答案】 证明：证明：∵∴ = ， = = ， = ， ∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC． 4.（2015?湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED， DF?14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长． 【答案与解析】 （1）证明：∵ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴ ， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∵DF=DC， ∴∴ ， ， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴ ， 又∵DF=DC，正方形的边长为4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10． 【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 探索三角形相似的条件--巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( )． A． B． 、 C． D．2．已知△ ABC的三边长分别为、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ). A. B. C. D. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 3．（2015?大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 4.在△ABC和△DEF中， ①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ). A.只有① B.只有② C.①和②分别都是 D.①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（ ）. A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ). A. B.8 C.10 D.16 二、填空题 7.（2015?伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ． 8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对. 三．解答题 13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求 的值及AC、EC的长度． 14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 15.（2015?南昌一模）如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，求满足条件的点P的坐标？ 【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】D. 2.【答案】A. 【解析】根据三边对应成比例，可以确定13第三边，所以第三边是==226 3.【答案】B. 【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为只有选项B的各边为1、 、 、2、 、 与它的各边对应成比例．故选B． 4.【答案】C. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 5.【答案】C. 【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°， 即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF. 6.【答案】C. 【解析】∵ EF∥AB，∴ ∴ CD=10，故选C. 二. 填空题 7.【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 ， ∵ ，∴ ， ， ADAE . ?ACAB【解析】据判定三角形相似的方法来找条件. 8.【答案】 3 . 【解析】∵ ∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴ △ACB∽△AED， ∴ 在Rt△ABC中，9．【答案】 ； . ，BC=4， . 10.【答案】4. 【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°， ∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE. ∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4 ∴BC=CD=2 ∴ ABCD?,即AB=4. CDDE11.【答案】△OAB,△OCD. 12.【答案】3. 【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD ∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB. 三 综合题 13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∵ ， ，∴ ，∴AC＝ ，∴EC＝AC－AE＝ ． 14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， 又∵ ，∴△ABD∽△DCB， ∴∠A＝∠BDC， ∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ． 15.【解析】 解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点， 此时P点坐标为（0，）； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点， 此时P点坐标为（2，0）； 当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB， ∴Rt△APC∽Rt△ABC， ∴ = ， ∵点A（4，0）和点B（0，3）， ∴AB= =5， ∵点C是AB的中点， ∴AC=， ∴=∴AP= ， ， =， ∴OP=OA﹣AP=4﹣ 此时P点坐标为（，0）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 相似三角形的性质--知识讲解（基础） 【学习目标】 探索相似三角形的性质，能运用性质解决有关的计算或证明问题. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽ ，则 由比例性质可得： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A'ABCB'C' 类似地，我们还可以得到： 相似多边形周长的比等于相似比. 2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ， 则 S△ABC?A?B?C?S△11BC?ADk?B?C??k?A?D??2?2=k2 11B?C??A?D?B?C??A?D?22A'ABDCB'D'C' 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 要点二、相似三角形中对应线段的比 【课程名称：相似三角形的性质及应用 394500 ：相似形的性质】 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 【答案与解析】 解：设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有 ， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 从而x= cm，y= cm. ， (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有 从而x= cm，y= cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有 从而x=或 cm， cm，y= cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是 ， cm, cm或 cm， cm cm三种可能. 【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类. 2.（2015?上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD?CE=CD?DE． 【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=BD， ∵OE=OB， ∴OE=BD， ∴∠BED=90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED， ∴△BDE∽△DCE， ∴ ， ∴BD?CE=CD?DE． 【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 定理是解题的关键． 举一反三： 【变式】（2015?铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A．3：4 B． 9：16 【答案】B． 提示：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=1=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 类型二、相似三角形中对应线段的比 3.已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm．求小三角形的面积. 【答案与解析】 解：设小三角形的面积为S， ∵两相似三角形对应角平分线的比为3:10 ∴两相似三角形的相似比为3:10 ∴ 2 C． 9：1 D．3：1 S39?()2? 40010100∴S=36 即小三角形的面积为36cm2. 【总结升华】本题主要考察相似三角形的性质，掌握对角平分线的比等于相似比是解题的关键. 4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形 相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 【答案与解析】 【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解：∵ 四边形EFGH是矩形， ∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC， ∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形两邻边之比为1：2， 设EF=xcm，则EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得∴ ∴ ∴ . ， ， ， ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴ 【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三： 【变式】两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为高为 ． 【答案】，则较小三角形的对应边上的 27 7苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 相似三角形的性质--巩固练习（基础） 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015?酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A． B． C． D． 2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）． A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米 4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ) A．3 B．7 C．12 D．15 5．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为（ ） A. 3579 B. C. D. 22226. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF= cm． 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______. 9．已知△ABC∽△A′B′C′，且对应高的比为3：2，△ABC的周长为24，那么△A′B′C′的周长为 ． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 10.（2015?重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为 ． 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则S△DEF:S△BEF:S△BAF?________________. 12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的________倍. 三、解答题 1倍，那么边长应缩小到原来的2E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，13. 如图，在平行四边形ABCD中，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长． 14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交 于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F．设AD=80，BC=120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长． 15.（2014秋?射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点， （1）求证：AC=CE?CF； （2）若∠B=38°，求∠CFD的度数． 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D． 【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC， ∴ =，∴S△DOE：S△AOC= = ， 故选D． 2．【答案】B． 【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 3．【答案】C. 4．【答案】B. 5．【答案】D. 【解析】提示：对应高的比和对应中线的比都等于相似比． 6．【答案】C． 【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 二．填空题 7．【答案】7. 8．【答案】45cm2. 9．【答案】16． 10．【答案】2：3. 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3， ∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，故答案为：2：3． 11.【答案】4:10:25 S?DE?【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴△DEF??∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,?，S△AEB?AB?S△DEFS△DEF24??. 即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴ S△BAFS△BEF51012．【答案】22. 2三.综合题 13．【解析】 解：∵△AOB∽△EOD， ∴DE:AB=OA:OE ∵DE= 2AB,AB=9，AO=6 322∴DE=×9=6，OE=×6=4 33∴AE =OA+OE=6+4=10 14．【解析】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解：∵四边形PEFQ为正方形，且AD⊥BC， ∴GD=PE=PQ=x， ∴AG=80﹣x； ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ，即 80?xx， ?80120解得：x =48， 即此时正方形的边长为48． 15．【解析】 解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠CFA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠CFA=∠BAC， ∵∠ACF=∠FCA， ∴△CAF∽△CEA， ∴ = 2 ， ∴CA=CE?CF； （2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA， ∴△CAD∽△CBA， ∴ = 2 ， ∴CA=CB×CD， 2 同理可得：CA=CF×CE， ∴CD?BC=CF?CE， ∴ = ， ∵∠DCF=∠ECB， ∴△CDF∽△CEB， ∴∠CFD=∠B， ∵∠B=38°， ∴∠CFD=38°． 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 图形的位似--巩固练习 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【巩固练习】 一. 选择题 1.下面给出了相似的一些命题： （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.下列说法错误的是（ ）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 3.下列说法正确的是（ ） . A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE 是ABC放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方. 4．（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）. A. AB：AC=AC：BC B. AC=5?15?1AB C.AB=AC D.BC≈0.618AB 227.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）. A. 5?15?1 B. C.3 D.2 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 二. 填空题 8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________. 9. （2016?三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ． 10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A?B?C?D?E?，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A?B?C?D?E?的周长的比值是__________． 11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________. 12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________. 13.（2015?钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________. 三． 综合题 15.如图，D、E分别AB、AC上的点. (1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？ (2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？ 16.（2014秋?海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF， （1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明； （2）若AB=2，CD=3，求EF的长． 17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误； （2）（3）（5）符合相似的定义，故正确； （4）对应边的比不一定相等．故错误． 故正确的是：（2）（3）（5）．故选B． 2．【答案】D. 3．【答案】C. 4.【答案】D. 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 5．【答案】B 【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B. 6．【答案】D. 【解析】∵AC＞BC， ∴AC是较长的线段， 根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=AC≈0.618AB．故选D． 7.【答案】B. 【解析】∵AB=1， 设AD=x，则FD=x-1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， 5?15?1AB, AB=AC 22EFAD， ?FDAB1x?， x?11∴解得x1=1+51-5,x2=,（负值舍去）， 221+5是原方程的解．故选B． 2经检验x1= 二、填空题 8.【答案】50cm. 9.【答案】4.5． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【解析】∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0）， ∴AO=2，DO=5， ∴ = =， ∵AB=1.5， ∴DE=4.5． 故答案为：4.5． 10.【答案】1：2． 【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm， ∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2． 故答案为：1：2． 11.【答案】 . 【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故. 12.【答案】2:1. 【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=BFEFa，根据矩形相似，对应边的比相等得到：?,即：ABBC2a22=b，则b2=a 2baa2a2∴2=2,∴= b1b 13. 【答案】16. 【解析】由图形的变化规律可得 ×256= 解得n=16． 14. 【答案】25-2. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又BD平分∠ABC， ， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴∠BDC=72°， ∴BC=BD=AD， ∵D点是AC的黄金分割点， ∴BC=AD=4×5-1=25-2. 2 三．解答题 15.【答案与解析】 (1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是： DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以 . 又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形. (2)DE∥BC.理由是： 因为△ADE和△ABC是位似图形， 所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC. 16.【答案与解析】 解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形， 理由：∵AB∥CD∥EF， ∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点， ∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形； （2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3， ∴∴ == =， =， 解得：EF=． 17.【答案与解析】 （1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4， ∴S矩形ODEF=11S矩形ABCO=×4×43=3； 161622（2）存在． ∵OE=OF?OD?3?12?2 2所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆， 设点O到AC的距离为h， AC=AB2?BC2?42?43??2?8 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴8h=4×43， 解得h=23， ∴当点E到AC的距离为23+2时，△ACE的面积有最大值， 当点E到AC的距离为23-2时，△ACE的面积有最小值， 1?823?2?83?8 ; 21S最小=?823?2?83?8. 2 S最大=???? 苏教版九年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 图形的位似--知识讲解 【学习目标】 1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小； 2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化. 【要点梳理】 要点一、位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 要点诠释： 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 要点二、坐标系中的位似图形 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k. 【典型例题】 类型一、位似多边形 1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A. B. C. D. 【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【答案】D 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D． 【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 举一反三 【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距 离是6cm，则像CD的长是物AB长的 （ ）. 11A. 3倍 B. C. D.不知AB的长度，无法判断 32 【答案】C 2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍. B A E C D 【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比 为1.5. 画法是： 1．在平面上任取一点O. D1 E1 B1 A1 C1 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE. 3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. A′B′B′C′C′D′D′E′A′E′这样：＝＝＝＝＝1.5. ABBCCDDEAE 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三 【变式】在已知三角形内求作内接正方形． 【答案与解析】 作法： （1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC； （2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′； （3）连接BF′，延长交AC于F； （4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD； ∴四边形DEFG即为所求． BD'DE'ECG'GF'FA 类型二、坐标系中的位似图形 3.（2015?漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是 三角形． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【思路点拨】 （1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出AC′=4+8=80，AD′=6+2=40，C′D′=6+2=40，那么AD′=C′D′， 222 AD′+C′D′=AC′，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形． 【答案与解析】 解：（1）如图所示： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222222 （2）∵AC′=4+8=16+64=80，AD′=6+2=36+4=40，C′D′=6+2=36+4=40， 222 ∴AD′=C′D′，AD′+C′D′=AC′， ∴△AC′D′是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键． 2 2 2 4. （2016春?威海期末）如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为 ． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【思路点拨】 （1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′； （2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解． 【答案与解析】 解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作； （2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 举一反三： 【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，?得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 资料来源于网络 仅供免费交流使用
相关推荐：
loading