专题12 概率与统计综合问题
1．已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人． (1)求n的值；
1
(2)若成绩在[40,50)内的人数是成绩在[50,60)内的人数的，规定60分以下为不及格，从不及格的人中任
3意选取3人，求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
??100.035＋0.025＋c＋2b＋a【解析】(1)依题意得?
??2b＝a＋c＝1，
?b＝0.01，
因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n＝
?a＋c＝0.02，???c＝3a6
＝60.
0.01×10
(2)由?
??
?a＝0.005，?
??c＝0.015，
于是成绩在[40,50)及[50,60)内的人数分别为3和9，即不及格的
人数为12，从中任选3人，则成绩在50分以下的人数X的所有可能取值为0,1,2,3. C9C321C9C327
且P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，
C1255C1255C9C327C9C31
P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝，
C12220C12220所以X的分布列如下
12
03
30
21
X P 0 21 551 27 552 27 2203 1 22021272713故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
55552202204
2．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
1
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望． 【答案】见解析
【解析】设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)． 1
依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
12
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12， 5
所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝. 125
即此人到达当日空气重度污染的概率为. 12(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝， P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝， P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝，
所以ξ的分布列为
111466
512
212
16212
16
31124
ξ P 0 1 41 5 122 1 63 1 615115故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
412664
3．(2019·焦作模拟)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表.
员工编号 年薪/万元 1 3 2 3.5 3 4 4 5 5 5.5 6 6.5 7 7 8 7.5 9 8 10 50 (1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； (2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
2
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
^^
^
附：线性回归方程y＝bx＋a中系数计算公式
n
－－
^
－^－
－－
^
? (xi－x)(yi－y)
i＝1
n
b＝
i＝1
－
，a＝y－bx，其中x，y表示样本均值．
? (xi－x)2
【答案】见解析
【解析】 (1)平均值为10万元，中位数为6万元．
(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2. C42C4C68C61
P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝1)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，
C1015C1015C103所以ξ的分布列为
2
11
2
ξ P 0 2 151 8 152 1 32816数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
151535
(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪， －
－
4
－
2
则x＝2.5，y＝5，?(xi－x)＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，
i＝1
4
－－^
?
i＝14
（xi－x）(yi－y)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，b＝
－
－
7
＝＝1.4， 5
? (xi－x)(yi－y)
i＝1
4
－
? (xi－x)2
i＝1
^－^－
a＝y－bx＝5－1.4×2.5＝1.5，因此线性回归方程为y＝1.4x＋1.5，可预测该员工第5年的年薪收入为
8.5万元．
4．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检
3
相关推荐：
loading