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微积分初步复习试题
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x)?⒉若lim1?4?x的定义域是 (?2,?1)?(?1,4] ．
ln(x?2)sin4x?2，则k? 2 ．
x?0kx ⒊曲线y?ex在点(0,1)处的切线方程是 ⒋
．
y?x?1 ．
de2ln(x?1)dx? ?1dx 0
⒌微分方程y??y,y(0)?1的特解为 y?ex ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数y?xsinx，则该函数是（ A）．
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
?x2?2,x?0⒉当k?（ C ）时，函数f(x)??，在x?0处连续.
x?0?k,A．0 B．1 C．2 D．3
⒊下列结论中（ C ）正确．
A．f(x)在x?x0处连续，则一定在x0处可微. B．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C．f(x)在x?x0处不连续，则一定在x0处不可导. D．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D）．
1 A . sinxdx?d(cosx) B. lnxdx?d()
x1dx?d(2x) C. axdx?d(ax) D. x⒌微分方程(y??)3?4xy????y5sinx的阶数为（ B）
A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）
x2?6x?8⒈计算极限lim2．
x?2x?3x?2(x?4)(x?2)x?4?lim??2 原式?limx?2(x?2)(x?1)x?2x?1 ⒉设y?lnx?cos3x，求dy.
.
.
1?3cos2x(?sinx) x1 dy?(?3sinxcos2x)dx
x ⒊计算不定积分?(2x?1)10dx
y??10(2x?1)dx= ?111011(2x?1)d(2x?1)?(2x?1)?c ?222⒋计算定积分
e2?e21lnxdx
e2x222?1xdx?2e?e?1?e?1 ?1四、应用题（本题16分）
lnxdx?xlnx1?e2 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
108解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h?108,h?2
x108432 y?x2?4xh?x2?4x?2?x2?xx432令y??2x?2?0，解得x?6是唯一驻点，
x2?432?0， 且y???2?x3x?6108说明x?6是函数的极小值点，所以当x?6，h??3
36
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x?2)?x2?4x?2，则f(x)? ⒉当x? 0 时，f(x)?xsinx2?6
．
1为无穷小量. x⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y?(1) = ⒋?(5x3?3x?1)dx? 2 ．
?11?2 ．
⒌微分方程y??y,y(0)?1的特解为 y?ex .
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x)?1的定义域是（ C）．
ln(x?1)A．(1,??) B．(0,1)?(1,??) C．(1,2)?(2,??) D．(0,2)?(2,??)
.
.
⒉曲线y?e2x?1在x?2处切线的斜率是（D ）． A．2 B．e2 C．e4 D．2e4
⒊下列结论正确的有（ B ）． A．若f?(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点
B．x0是f (x)的极值点，且f?(x0)存在，则必有f?(x0) = 0 C．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 D．使f?(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A．? C．
??0e?2xdx B．
1dx D． x???1x1dx
???1???0sinxdx
⒌微分方程(y??)3?y(4)cosx?y2lnx的阶数为（D
x2?x?6(x?3)(x?2)x?35lim?lim?lim? ）． x??2x??2(x?2)(x?2)x??2x?24x2?4A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
x2?x?6⒈计算极限lim．
x??2x2?4 ⒉设y?sin5x?cos3x，求dy.
y??5cos5x?3cos2x(?sinx)
?5cos5x?3sinxcos2x
dy?(5cos5x?3sinxcos2x)dx 3?x3?xsinxdx ⒊计算不定积分?x3?x3?xsinx22dx3lnx?x?cosx?c = ?x3?x⒋计算定积分?sinxdx
023??011??1?xsinxdx??xcosx??cosxdx??sinx? 222022200??四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
4解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h?2
x16所以S(x)?x2?4xh?x2?,
x.
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16 x2令S?(x)?0，得x?2， S?(x)?2x?因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水箱的表面积最小.
此时的费用为 S(2)?10?40?160（元）
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x?1)?x2?2x，则f(x)?
1⒉limxsin? 1 ． x??xx2?1
．
⒊曲线y?x在点(1,1)处的切线方程是 y?11x? 22 ．
⒋若?f(x)dx?sin2x?c，则f?(x)? ?4sin2x ． ⒌微分方程(y??)3?4xy(5)?y7cosx的阶数为 5 ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数y?x2sinx，则该函数是（ D）．
A．非奇非偶函数 B．既奇又偶函数 C．偶函数 D．奇函数 ⒉当x?0时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.
1xsinxA． B． C．ln(1?x) D．2
xxx⒊下列函数在指定区间(??,??)上单调减少的是（ B ）． A．cosx B．5?x C．x2 D． 2x lnx⒋ 设?f(x)dx??c，则f(x)?（ C ）．
xlnx1?lnx2lnx A. lnlnx B. C. D. 2xx⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．
A．y??sinx?y?ex?ylnx B．y?y?xy2?ex C．y???xy??ey D． yx2?lny?y?
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
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x2?3x?2⒈计算极限lim2．
x?2x?x?6(x?1)(x?2)x?11?lim? 原式?limx?2(x?2)(x?3)x?2x?35 ⒉设y?cosx?2x，求dy.
1y???sinx?2xln2
2x dy?(2xln2?sinx2x ⒊计算不定积分?(2x?1)10dx
10?(2x?1)dx=
)dx
1110 (2x?1)d(2x?1)?(2x?1)11?c?222
?20⒋计算定积分?xsinxdx
?
四、应用题（本题16分）
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
?20xsinxdx??xcosx02????20cosxdx?sinx02?1?
解：设长方体底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h?108,h?y?x2?4xh?x2?4x?108 2x1084322 ?x?xx2432?0，解得x?6是唯一驻点， 2x因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以x?6是函数的极小值点，即当x?6，
108h??3时用料最省.
36令y??2x?
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数f(x?2)?x2?4x?7，则f(x)?
x2?3
．
?x2?2,x?0⒉若函数f(x)??,在x?0处连续，则k? 2 ．
x?0?k, ⒊函数y?2(x?1)2的单调增加区间是 [?1.??) ． ⒋?e2xdx? ??01 2 ．
⒌微分方程(y??)3?4xy(4)?y5sinx的阶数为 4 ．
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