习题分析和解答
[说明：本栏内容对学生是有条件地开放]
第一章
△1. 3. 6一抽气机转速ω?400r?min，抽气机每分钟能抽出气体20 l (升)。设容器的容积 V0 = 2.0 1，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101 Mpa 降为 133 Pa。 设抽气过程中温度始终不变。
〖分析〗： 抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了 V, 因
?1而压强有所降低。 活门关上以后容器内气体的容积仍然为 V0 。下一次又如此变化，从
而建立递推关系。
〖解〗： 抽气机抽气体时，由玻意耳定律得： 活塞运动第一次：
p0V0?p1(V0?V)
活塞运动第二次：
p1?V0p0V0?V
???p0?
2p1V0?p2(V0?V)
活塞运动第n次：
?V0V0p2?p1???V?VV0?V?0????npn?1V0?pn(V0?V)
?V0pn?p0??V? V?0n?ln
pnp0nV0V0?V（1） 抽气机每次抽出气体体积
V?(20/400)l?0.05l V0?2.0l p0?1.01?105Pa pn?133Pa
将上述数据代入（1）式，可解得 n?276。
则
t?(276/400)?60s?40s
1. 3. 8 两个贮着空气的容器 A 和 B，以备有活塞之细管相连接。容器A
00浸入温度为 t1?100C 的水槽中，容器B浸入温度为 t2??20C 的冷却剂中。
开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器 A 及 B 中空气的压强分别为
p1?0.0533MPa，p2?0.0200MPa。它们的体积分别为 V1?0.25l, V2?0.40l, 试问把活塞打开后气体的压强是多少？
〖分析〗： 把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A和 B 中气体压强应该相等。但是应注意到, 由于 A 和 B 的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。 我们不能把 A 和B气体的整体作为研究对象, 而先把从 A 流入 B 的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（ 即 mol 数 ），然后按照混合前后 A 和 B总的物质的量不变这一点列出方程。
〖解〗：设原容器 A 中有 ?V 体积的气体进入容器 B，且打开活塞后气体压强为 p。对原容器 A 中 剩下的(V1??V) 体积的气体进行研究，它们将等温膨
胀到体积 V1，因而有
p1(V1??V)?pV1
（1）按照理想气体方程, 有 νR?pV/T 关系，原容器 A 中 ?V 体积的气体和原容器 B 中 V2 体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以
p1?Vp2V2pV2??T1T2T2（2）由（1）式、（2）两式化简可得
pV1TV(p?p2)pVT?p2V2T1??V?12p?112p1p1T2V1T2?T1V2
4代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强 p?2.98?10Pa。
V1?
△1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强 p 的空气。先对管子加热，使从开口端温度 1 000 K 均匀变为闭端 200 K 的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为 100 K，试问管中最后的压强是多大？
〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为
100 K 以后, 长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为 100 K 以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p= n kT公式。
〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 p?p0。显然，管子中气体的温度分布应该是
T(x)?200?1000?200xL
（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑 x ~ x + dx 一 段
气体, 它的分子数密度为 n ( x ) , 设管子的横截面积为 S, 考虑到 p = n kT , 则这一小段中的气体分子数为
dN?Sn(x)dx?管子中气体总分子数为
SpdxkT(x)
N?利用（1）式可得
SpLdx??k0T(x)
SpL800x?1N???(200?)dxk0L
管中气体最后的压强是p1（p1?p0）, 温度是 T ，.则
N?SLp1/kT
由上面两式相等 , 最后可以计算出
p?(1/8)?p0?ln5?0.20p0
即：管中气体最后的压强为0.20p0。
1. 4. 1 在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）： (1) 华氏温标和摄氏温标； （2）华氏温标和热力学温标； （3）摄氏温标和热力学温标?
?9t?tF???0?32?0F0?5C? ，t?[T?273.15K]C。 〖提示〗：利用
〖答〗：（1）－40 ℃；（2）575 K；（3）没有。
1. 4. 2 定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为
6.7?103Pa。
（1）用温度计测量 300 K 的温度时，气体的压强是多少？ （2） 当气体的压强为 9.1?10Pa 时，待测温度是多少？
〖提示〗： ptr?6.7?10Pa。利用如下公式进行计算：
33p?273.16Kptr ( 体积不变 )
3〖答〗：（1）7.4?10Pa；（2）371 K。
T(p)?1. 4. 3 用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为 273.15 K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。
〖解〗： 利用公式.
T?273.15K?limlim所以
ptr?0ptr?0p?273.16Kptr
p273.15??0.99996ptr273.16
1. 5. 2 试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的汽化热数量级相同。再估计两个邻近水分子间的万有引力势能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。
〖分析〗： 水中的分子热运动而不分散开, 是因为分子之间有作用力。水的汽化是某些水分子有足够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。我们知道分子之间作用力势能是负的, 气体分子的势能为零。所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。另外也要考虑到, 液体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。但是一般说来这两者的数量级差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。 〖解〗： 水的汽化热为 2.25?10J?kg，它的摩尔汽化热为
6-1LV,m?2.25?106?0.018J?mol?1?4.05?104J?mol?1
?20??L/N?6.7?10J pV,mA每摩尔有 NA 个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为
可以认为 ?p 就是水的分子互作用势能的数量级。
至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。假
?103.8?10m（ 利用上题的结果 ）定水中两最邻近分子质量中心之间的距离为 ，则每
?52ε?1.6?10J。
个分子所平均分摊到的万有引力势能的数量级为p。
?32〖讨论〗：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小 10。由于分子互
作用势能来自电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。
-3
1. 6. 3 一容积为 11.2l 的真空系统已被抽到 1.33×10 Pa 的真空。
为了提高其真空度，将它放在温度为 300C 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为 1.33 Pa，问器壁原来吸附了多少个气体分子？
〖分析〗： 烘烤时温度上升, 器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力而释放出来。真空系统的压强相应增加。利用 p?nkT 公式可以计算出吸附气体分子数。
18〖答〗： 1.88?10。
001. 6. 4 一容器内贮有氧气，其压强为 p?0.101MPa，温度为t?27C，
试求：（1）单位体积内的分子数；(2) 氧气的密度；(3) 分子间的平均距离： (4) 分子的平均平动动能。
〖分析〗： 利用 p?nkT 公式可以得到单位体积内的分子数。利用Mm?mNA 和 ρ?nm 公式可以得到氧气的密度和分子质量。利用
1/n?L3 和 εt?3kT/2
可以分别求得分子间的平均距离 L 和分子的平均平动动能。
25-3?9?211.30kg?m-3；〖答〗：（1）2.44?10m；（2）（3）3.4?10m；（4）6.2?10J。
第二章
2．2．2 量x的概率分布函数具有形式 f(x)?Aexp(?ax)?4π?x,式中 A
和 a 是常数，试写出x的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。
〖解〗： 归一化，
在上述积分中考虑到 f 22?????f(x)dx?1
( x) 是偶函数，所以有
?????f(x)dx?2???0f(x)dx?8π?A?πa?3/2/4?1
A?(a/π)/2
可以知道处于7.999 9
3/2~ 8.000 1
范围内概率为
P?A?e?64a?4π?64??x
?0.5?(a/π)3/2?4π?64?exp(?64a)?0.0002
2. 3. 1 求0C,0.101MPa下 1.0cm的氮气中速率在500m?s 到
03-1501m?s-1 之间的分子数。
〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但是注意到,
500m?s-1 到 501m?s-1 之间仅仅差 1m?s-1，它要比 500m?s-1 小得多。可
-1-1以认为在 500m?s 到 501m?s 范围内麦克斯韦速率分布是不变的。它的概率等
于在横坐标为 500m?s 到 501m?s 之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以看作矩形 ）。
〖解〗： 设 0C,0.101MPa下，1.0cm中的理想气体分子数为N, 利用洛
03-1-1
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