高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何测试题(详解)

高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( ) A．x＝1，y＝1 B．x＝11

2，y＝－2 C．x＝1，y＝－3

D．x＝－12

62

6，y＝3

解析 由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝113

3，x＝6，y＝－2.

答案 C

2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( ) A．6 B．5

C．4 D．3

解析 a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5. 答案 B

3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为(A．3 B．2

C．1 D.1

2

解析 ∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2. 答案 B

4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，而a·b＝|a||b|. ∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0.

∴a与b共线．反之，若a与b共线，也可能a·b＝－|a|·|b|，因此应选B. 答案 B

→→→→→

5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) A.23b＋13c B.5c－2b C.2112

33

3b－3c D.3b＋3

c )

→→→

解析 如图，AD＝AB＋BD →→

2

＝AB＋BC

3→→→

2

＝AB＋(AC－AB)

3→→12＝AB＋AC 3312＝c＋b. 33答案 A

6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是( )

A．a B．b

C．c D．以上都不对

解析 ∵a，b，c不共面，

∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可构成空间的一个基底． 答案 C

7．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( ) A．2 B．3

6465C. D. 77

解析 BC的中点D的坐标为(2,1,4)， →

∴AD＝(－1，－2,2)． →∴|AD|＝答案 B

8．与向量a＝(2,3,6)共线的单位向量是( ) 236A．(，，)

777

236B．(－，－，－)

777

1＋4＋4＝3.

236236C．(，－，－)和(－，，) 777777解析 |a|＝答案 D

236236

D．(，，)和(－，－，－)

777777

1

22＋32＋62＝7，∴与a共线的单位向量是±(2,3,6)，故应选D.

7

9．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为( ) A．－3或1

B．3或－1

C．－3

D．1

解析 由|a|＝6，a⊥b，

2????4＋16＋x＝36，?x＝4，?x＝－4，

得?解得?或? ????4＋4y＋2x＝0，?y＝－3，?y＝1.

∴x＋y＝1，或－3. 答案 A

10．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是( ) A．x>4

B．x<－4

C．0

D．－4

解析 ∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉<0，即3x＋2(2－x)<0，∴x<－4. 答案 B

11．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， →→

∵AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)， →→由n·AB＝0及n·AC＝0，得

??－5x－y＋z＝0，

令z＝1， ?

??－4x－2y－z＝0，

1313

得x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．

2222

→

又AD＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，则 →3

－1＋＋3

2|AD·n|1

sinθ＝＝＝，

→142

14×2|AD||n|

∴θ＝30°. 答案 A

12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )

A．2 B．3

C．4 D．5

解析 过点P分别作平面α，β的垂线l1和l2，则l1与l2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P与直线l1，l2成65°角的直线有几条，与l1，l2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．

答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)

13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.

解析 依题意知，a＝(－1,1,3)，b＝(2，－3，－2)，则a＋b＝(1，－2,1)， a－2b＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)． 答案 (1，－2,1) (－5,7,7)

→→

14．在△ABC中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________. →→

→→

AB·BC102

解析 cos〈AB，BC〉＝＝＝，

→→1022|AB||BC|→→

ππ3π

∴〈AB，BC〉＝，∴∠ABC＝π－＝. 444答案

3π

4

15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________． 解析