高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何测试题（详解）

(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)．

设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

???→?DE＝?n·

1

→n1·DA＝

x1，y1，z1x1，y1，z1

·2，0，0·2，2，1

＝0，＝0.

??2x1＝0，∴? ??2x1＋2y1＋z1＝0.

令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．

同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)． ∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1. (2)由于点M在AE上，

→→

∴可设AM＝λAE＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， →

可得M(2,2λ，λ)，于是A1M＝(0,2λ，λ－2)． 要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，

→→

2

∴A1M·AE＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝.

5

242

故当AM＝AE时，即点M坐标为(2，，)时，A1M⊥平面DAE.

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