2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第四章 4.5 第2课时 简单的三角恒等变换（含解析）

第2课时 简单的三角恒等变换

三角函数式的化简

1．化简：sin 2α－2cos2α

＝________.

sin?α－π?4??答案 22cos α

解析 原式＝2sin αcos α－2cos2α

2

＝22cos α.

2

?sin α－cos α??1＋sin α＋cos α??2．当π<α<2π时，化简：?sin α2

－cos α2??2＋2cos α＝________.

答案 cos α

?2cos2α＋2sin αcos α??sin α－cos α解析 原式＝

?

222??22?? 4cos2

α2

2cos α

?cos ααα＝2?2＋sin 2????sin 2－cos α2??

2?cos α?2??cos α

?－cos α＝2?

?.

?cos α2??

∵π<α<2π，∴παα

2<2<π.∴cos 2<0.

－cos α

cos ∴原式＝2

α

＝cos α.

－cos

α2

3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1

2cos 2αcos 2β＝________.

答案 12

解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1

2(2cos2α－1)(2cos2β－1)

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1

2

1

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

2111

＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.

222

方法二(从“名”入手，化异名为同名)

1

原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β

21

＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β

21

＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β

21

sin2α＋cos 2α? ＝cos2β－cos 2β?2??＝

1＋cos 2β11－cos 2β＝. 222

sin?2α＋β?4．化简：－2cos(α＋β)．

sin αsin?2α＋β?－2sin αcos?α＋β?

解 原式＝ sin α＝＝＝＝

sin[α＋?α＋β?]－2sin αcos?α＋β?

sin α

sin αcos?α＋β?＋cos αsin?α＋β?－2sin αcos?α＋β?

sin αcos αsin?α＋β?－sin αcos?α＋β?

sin αsin[?α＋β?－α]sin β

＝.

sin αsin α

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．

三角函数的求值

命题点1 给角求值

23ππ2π

－?＝________. 例1 (1)cos ·cos ·cos??9?991

答案 －

8

23ππ2π

－? 解析 cos ·cos ·cos??9?99

＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－

sin 20°1

sin 40°·cos 40°·cos 80°2＝－ sin 20°1

sin 80°·cos 80°4＝－ sin 20°1

sin 160°8＝－

sin 20°1

sin 20°81＝－＝－. sin 20°8sin 10°(2)＝________. 1－3tan 10°1答案 4解析 ＝

sin 10°sin 10°cos 10°

＝

1－3tan 10°cos 10°－3sin 10°

2sin 10°cos 10°sin 20°1

＝＝.

－10°?413?4sin?30°4?cos 10°－sin 10°

2?2?

命题点2 给值求值

π10?0，π?，则sin?2θ－π?＝________. θ＋?＝例2 (1)已知cos?，θ∈3??4?10?2??答案

4－33 10

π2θ＋?1＋cos?2?1?π?π44?2θ＋2θ＋?＝－sin 2θ＝－，解析 由题意可得cos?4?＝＝，cos?即sin 2θ＝. 2??21055π10?0，π?， θ＋?＝因为cos?>0，θ∈?4?10?2?ππ

0，?， 所以0<θ<，2θ∈??2?4

3

根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，

5

πππ2θ－?＝sin 2θcos －cos 2θsin 由两角差的正弦公式，可得sin?3??3341334－33＝×－×＝. 525210

π?317sin 2x＋2sinx7

＋x＝，π

答案 －

75

17π7π

解析 ∵

1245ππ

∴<＋x<2π. 34π?3

又cos??4＋x?＝5， π?4

＋x＝－， ∴sin??4?5π?π?∴cos x＝cos???4＋x?－4

2

??

π?πππ2

＋xcos ＋sin?＋x?sin ＝－. ＝cos??4?4?4?41072

∴sin x＝－，tan x＝7.

10

sin 2x＋2sin2x2sin xcos x＋2sin2x∴＝ 1－tan x1－tan x

72??272?22×?－×－?＋2×?－?10??10??10?28＝＝－.

751－7命题点3 给值求角

273

例3 已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝3，则cos 2α＝________，2α－β＝________.

7141π

答案

73

271

解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.

773

又α，β为锐角，sin β＝3，

14所以sin α＝

2113，cos β＝， 714

43因此sin 2α＝2sin αcos α＝，

7

43131333

所以sin(2α－β)＝×－×＝. 7147142因为α为锐角，所以0<2α<π. π

又cos 2α>0，所以0<2α<，

2