一 高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1 ?bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负
分界项，
?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.
?an?1?0?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.
a?0?n?1(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
1
S偶?S奇?nd，
S奇S偶?an. an?1，有
（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)，
S奇?S偶?an，
S奇S偶?n. n?12. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1，an??q（q为常数，q?0）aq1ann?1.
等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.
?na1(q?1)?前n项和：Sn??a1?1?qn?（要注意！）
(q?1)?1?q?性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1；
n?2时，an?Sn?Sn?1.
2
二 解题方法
1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
111如：数列?an?，a1?2a2?……?nan?2n?5，求an
2221解 n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14 ①
2111n?2时，a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5 ②
222?14(n?1)1n?1①—②得：nan?2，∴an?2，∴an??n?1
2?2(n?2)5［练习］数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an
3注意到an?1?Sn?1?Sn，代入得
Sn?1∴?Sn?是等比数列，Sn?4n ?4又S1?4，
Sn；
·4n?1n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3
（2）叠乘法
an 如：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an
ann?1解
aa2a312n?13a1·……n?·……，∴n?又a1?3，∴an?a1a2an?123nn. a1n（3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
3
?a3?a2?f(3)??n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n)
a2?a1?f(2)（4）等比型递推公式
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?列
∴an?dd?n?1d?n?1d????a1?·ca?a?c?，∴ n??1?c?1?c?1?c?1?c?1?ddd??a?，c为公比的等比数，∴?an?是首项为?1c?1c?1c?1??（5）倒数法
如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：
a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?an222a1?an?∴an?2n?1
(附：公式法、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比
an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归
纳法、换元法)
4
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