高中数列知识点、解题方法和题型大全

112nn?1an?1?an?()n?12?a?(2?an)?1n?1n?1323解：在两边乘以2得： 22nb?b?1b?3?2()n?1nnbn?2?an33令，则,解之得：所以

nan?bn1n1n?3()?2()23 2nan?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

类型5 递推公式为

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

an?2?san?1?t(an?1?san)其中s，t满足

?s?t?p??st??q

解法二(特征根法)：对于由递推公式

an?2?pan?1?qan?a?，a1??,a2??给出的数列n，

2?a?x?px?q?0，方程叫做数列n的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2?a?a时，数列n的通项为nn?1?Ax1n?1?Bx2，其中A，B由a1??,a2??决定（即把

n?1an?Ax1n?1?Bx2a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，

?an?(A?Bn)x1n?1an?数列的通项为，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2an?(A?Bn)x1n?1n?1,2和，代入，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列

?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，

a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。由3an?2?5an?1?2an?0，得

an?2?an?1?2(an?1?an)3，且a2?a1?b?a。

2?a?an?是以b?a为首项，3为公比的等比数列，于是

则数列n?12an?1?an?(b?a)()n?13。

2a3?a2?(b?a)?()3， 把n?1,2,3,???,n代入，得a2?a1?b?a，

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2a4?a3?(b?a)?()23，???

2an?an?1?(b?a)()n?23。把以上各式相加，得

21?()n?13?(b?a)2222n?21?an?a1?(b?a)[1??()?????()]3333。

22?an?[3?3()n?1](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a33。

解法二（特征根法）：数列

2?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b的特征方程是：3x?5x?2?0。

?x1?1,x2?22n?1n?1n?1?A?B?()3,?an?Ax1?Bx23。又由a1?a,a2?b，于是

?a?A?B?A?3b?2a?2???2n?1B?3(a?b)b?A?Ba?3b?2a?3(a?b)()??n3?3故

21a?a?ann?2n?1?an?a?1a?233，求an。 例:已知数列中，1,2,21an?2?an?1?an33可转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 解：由

即

an?22?s?t??1?s?1??3??s??????31??st??1t?????(s?t)an?1?stan3或???t?1 3?1?s?1?s????3?1?t???3（当然也可选用??t?1，大家可以试一试）这里不妨选用?，则

11?an?2?an?1??(an?1?an)??a?a?n?1n是以首项为a2?a1?1，3公比为3的等比数列,

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1an?1?an?(?)n?13,应用类型1的方法，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得所以

(n?1)个等式累加之，即

111an?a1?(?)0?(?)1????????(?)n?2333an?731n?1?(?)443。

Sn与

11?(?)n?13?11?3又?a1?1，所以

类型6 递推公式为

an的关系式。(或

Sn?f(an))

?S1????????????????(n?1)an???Sn?Sn?1???????(n?2)与 解法：这种类型一般利用

an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)an进行求解。

消去

Sn(n?2)S?f(Sn?Sn?1)(n?2) 或与n消去

例：已知数列式

?an?前n项和

Sn?4?an?12n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公

an.

解：（1）由

Sn?4?an?12n?2得：

Sn?1?4?an?1?12n?1于是

Sn?1?Sn?(an?an?1)?(an?1?an?an?1?12n?2?12n?1)

所以

111?a?a?n?1n22n?12n.

（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））

由

（2）应用类型4（

an?1?pan?qnn?1的方法，上式两边同乘以2得：

2n?1an?1?2nan?2a1?S1?4?a1?1?a1?1n1?2?2an?2.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所

n?a?n2an?2?2(n?1)?2n2n?1 以

n 19

类型7

an?1?pan?an?b(p?1、0，a?0)

，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)?an?xn?y?是公比为p的等比数列。

例:设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求

an.

解：设

bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将

an,an?1代入递推式，得

bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1)

???A?3A?2????3A?1??B?3B?A?1?B?1

?取bn?an?n?1…（１）则

bn?3bn?1,又b1?6，故

bnn?6?3n?1?2?3n代入（１）得

an?2?3?n?1

说明：（1）若f(n)为n的二次式，则可设

bn?an?An2?Bn?C;(2)本题也可由

an?3an?1?2n?1 ,

an?1?3an?2?2(n?1)?1（

n?3）两式相an?an?1?3(an?1?an?2)?2转化为

bn?2?pbn?1?qbn求之.

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减得