由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2
n?1．
当n≥2时，Sn=4an?1+2=2
n?1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．
n?1综上可知，所求的求和公式为Sn=2
(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn?1?4an?2得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 【问题3】函数与数列的综合题
数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.
例5已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2，数列{an}*的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y=f(x)的图像上。（Ⅰ）、求数列{an}的
'通项公式；（Ⅱ）、设bn=1mTn是数列{bn}的前n项和，，求使得Tn<对所有n?N*anan+120都成立的最小正整数m；
点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
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?又因为点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n.
3n?1)?2(n?1)＝6n－5. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）
??2?（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?33111＝＝(?)，
anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝
?bi＝
i?1n1211111?11?(1?)?(?)?...?(?)＝（1－）. ??77136n?56n?126n?1??因此，要使
11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即26n?120220m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
例6．设f1(x)?f(0)?12，定义fn?1(x)?f1[fn(x)],an?n，其中n∈N*.
fn(0)?21?x（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若T2n?a1?2a2?3a3???2na2n,， 解：（1）f1(0)＝2，a1?22?11?，fn?1(0)?f1[fn(0)]?，
1?fn(0)2?24∴an?12?1fn?1(0)?11?fn(0)1?fn(0)1f(0)?11??????n??an
2fn?1(0)?24?2fn(0)2fn(0)?22?21?fn(0)∴
an?111111??，∴数列｛an｝上首项为，公比为?的等比数列，an?(?)n?1
4242an2（2）T2n?a1?2a2?3a3???2na2n,
11111?T2n?(?)a1?(?)2a2?(?)3a3???(?)2na2n, 2222211[1?()2n]13n?13112两式相减得：T2n?4?n?(?)2n?1, T2n?(1?2n)
1924221?2?例7．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y＝3x－2的图像上。
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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得
anan?1Tn?m对所有n?N?都成立的最小正整数m。 20本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 解：（I）依题意得，
Snn?3n?2,即Sn?3n2?2n。
当n≥2时，a当n=1时，所以
2?3?n?1?2?2(n?1)??6n?5; ???(3n?2n)?ansnsn?1??a?s?3×1-2×1-1-6×1-5
211a?6nn?5(n?N)。
311?11??????， anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?2?6n?56n?1?（II）由（I）得bn?n故
骣1鼢骣骣11?1轾111?1?珑?犏1?=。 -b=1-+-+...+-鼢?珑???Tn?鼢?珑?犏桫7桫桫2臌7136n-56n+12?6n?1?1=11?1?m1m1?﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要n?N????2?6n?1?20220因此，使得
求的最小整数m为10。 【问题4】数列与解析几何
数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.
例8．在直角坐标平面上有一点列P对一切正整数n，1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，点Pn位于函数y?3x?数列?xn?.
⑴求点Pn的坐标；子⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，
2第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜
135的图象上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公差的等差42率为kn，求：
111????. k1k2k2k3kn?1kn27
解：（1）xn??53?(n?1)?(?1)??n? 22?yn?3?xn?13535??3n?,?Pn(?n?,?3n?) 4424（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.?设cn的方程为：
y?a(x?2n?3212n?5)?, 24222把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1。
kn?y'|x?0?2n?3，?1kn?1kn?1111?(?)
(2n?1)(2n?3)22n?12n?3?=
1111111111?????[(?)?(?)???(?)] k1k2k2k3kn?1kn257792n?12n?311111 (?)??252n?3104n?6点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出kn. 例9．已知抛物线x?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点
211P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P3，，
241如此继续，一般地，过点Pn作斜率为n的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pn(xn,yn)．
2（Ⅰ）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列．并求数列{bn}的前n项和为Sn 解：（1）因为Pn(xn,yn)、Pn?1(xn?1,yn?1)在抛物线上，故xn?4yn,①xn?1?4yn?1②，
又因为直线PnPn?1的斜率为
22yn?1?yn11，即?，①②代入可得2nxn?1?xn21x2n?1?x2n11?n?xn?1?xn?n?24xn?1?xn22?bn?x2n?1?x2n?1?(x2n?1?x2n)?(x2n?x2n?1)?122n?2?122n?3??122n?2， 故
bn?111??{bn}是以
4bn4为公比的等比数列；Sn??【问题5】数列创新题
28
4131(1?n)?Sn?1?n， 3444
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