解：（1）∵OA=1，OB=4 ∴A（1，0），B（﹣4，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1） ∵点C（0，﹣）在抛物线上 ∴﹣解得a=
∴抛物线的解析式为y=
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似． 理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC= 则tan∠ACO=∵tan∠OAD= ∴∠OAD=∠ACO ∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣） ∵点C（0，﹣） ∴CD=
由AC2=OC2+OA2，得AC=
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t 由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似 只需
或
则有或
解得t1=，t2=
∵t1＜2.5，t2＜2.5 ∴存在t=
或t=
，使得△ADC与△PQA相似
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大 理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N 在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD= 在△ADC中，由S△ADC=
∴CN=
∴S△AQP+S△AQC==﹣∴当t=
时，△APQ与△CAQ的面积之和最大
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