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2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考试数学试题(解析版)

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(2)当a?0时,由f??x??0得:x?2, a??则当x??0,?时f??x??0;当x??,???时f??x??0.

??2?a????2?a所以f?x?在?0,?单调递增,在?,???上单调递减. 综上,当a?0时,f?x?在?0,???上单调递增;

当a?0 时,f?x? 在?0,?单调递增,在?,???上单调递减. (Ⅱ)

2?a??2?a????2?a??2?a??x1?x2不是导函数g??x?的零点. 证明如下: 222当a??1时,g?x??x?f?x??x?2lnx?x. ∵x1,x2是函数g?x?的两个零点,不妨设0?x1?x2,

?x12?2lnx1?x1?0?x12?x1?2lnx1??2 ??2,两式相减得:

x?2lnx?x?0x?x?2lnx2222?2?2?x1?x2??x1?x2?1??2?lnx1?lnx2?

即: x1?x2?1?则

2?lnx1?lnx2?x1?x2, 又g??x??2x?2?1. x2?lnx1?lnx2?2?x1?x2??442??x?x?g??12??x1?x2??1???lnx?lnx?????12x1?x2x1?x2x1?x2x1?x2?x1?x2??2?. 设t?x1,∵0?x1?x2,∴0?t?1, x2?t?1?14?令??t??lnt?,???t???22.

tt?1?t?1?t?t?1?2?t?1?又0?t?1,∴???t??0,∴??t?在?0,1?上是増 函数, 则??t????1??0,即当0?t?1时,lnt?22?t?1?t?1?0,从而

?lnx1?lnx2??2?x1?x2?x1?x2?0,

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又0?x1?x2?x1?x2?0所以

2?x1?x2??2?lnx?lnx???1??0, 2?x1?x2?x1?x2?故g???x1?x2?2x1?x2??0,所以不是导函数g??x?的零点. ?2?【点睛】

本题考查运用导函数研究函数的单调性和研究函数的零点问题,解决此类问题常需构造合适的新函数,并对其求导函数,研究此函数的单调性,从而得出函数的最值、极值、零点等相关问题,属于难度题。

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