1
(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
3n－1解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
??a2＋a5＝2a1＋5d＝25，
由题意得?5×4
??S5＝5a3＝5a1＋2d＝55，?a1＝5，
解得?
?d＝3，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n＋2.
11
(2)由anbn＝，得bn＝
3n－1an?3n－1?＝
1111
＝3(－)，
?3n－1??3n＋2?3n－13n＋2
111111111Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3(2－5＋5－8＋…＋－)＝3(2
3n－13n＋21－) 3n＋2
11n＝6－＝.
9n＋62?3n＋2?
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－21，a5与a7
的等差中项为1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T10的值和Tn的表达式． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得 3×2??3a1＋2d＝－21，????a1＋4d?＋?a1＋6d?＝2，
?a1＝－9，解得?
?d＝2，
则an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11，所以数列{an}
的通项公式为an＝2n－11.
11
(2)令an＝2n－11<0，得n<2，即n≤5，所以当n≤5时，an＝2n－11<0，当n≥6时，an＝2n－11>0.
又Sn＝n2－10n，S5＝－25，S10＝0，
所以T10＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－S5＋(S10－S5)＝S10－2S5＝50.
当n≤5时，Tn＝－Sn＝10n－n2；
当n≥6时，Tn＝－S5＋(Sn－S5)＝Sn－2S5＝n2－10n＋50.
?10n－n2，n≤5，
综上，Tn＝?
?n2－10n＋50，n≥6.
13．(2019·武汉市调研测试)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6
＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为－12.
解析：设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36， 又a4a6＝275，联立，
?a4＝11，解得?
?a6＝25?a4＝11，当?
?a6＝25
时，an>0，
?a4＝25，或?
?a6＝11，
?a1＝－10，
时，可得?
?d＝7，
此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3
∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
?a4＝25，当?
?a6＝11
?a1＝46，
时，可得?
?d＝－7，
此时an＝－7n＋53，a7＝4，
a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25. (1)求{an}的通项公式；
(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．
5×4
解：(1)设公差为d，则5a1＋2d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，∴a1
＝－1，d＝3.
∴{an}的通项公式为an＝3n－4.
3n?n－1?
2
(2)Sn＝－n＋，2Sn＋8n＋27＝3n＋3n＋27，an＋4＝3n，29
则原不等式等价于(－1)k n 9?? ∴当n为奇数时，k>－?n＋1＋n?； ? ? 9 当n为偶数时，k 又∵n＋1＋n≥7，当且仅当n＝3时取等号， 9 ∴当n为奇数时，n＋1＋n的最小值为7， 929 当n为偶数时，n＝4时，n＋1＋n的最小值为4，∴不等式对所29 有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是－7 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{an}的前n项和an＋2为Sn，且满足2Sn＝2. (1)求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； 1111 (2)设bn＝＋＋…＋＋ an＋a1an＋a2an＋anan＋an＋13 (n∈N)，求证：bn≤8. * an＋2 证明：(1)∵2Sn＝2， ∴当n＝1时，a1＝2. 当n≥2时，8Sn＝(an＋2)2，① 8Sn－1＝(an－1＋2)2，②
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