天津市河东区2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙?丙?丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A．
1 3B．
3 10C．
2 5D．
3 4【答案】B 【解析】 【分析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为(x,y,z),则基本事件有
(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙
获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为故选：B. 【点睛】
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
3, 10uuuruuuruuur2．已知等边△ABC内接于圆?：x+ y=1，且P是圆τ上一点，则PA?(PB?PC)的最大值是（ ）
2
2
A．2 【答案】D 【解析】 【分析】
B．1
C．3 D．2
uuuruuuruuur如图所示建立直角坐标系，设P?cosθ,sinθ?，则PA?(PB?PC)?1?cos?，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则A(1,0)，B????13??13?,C?,?，?????2?，设P?cosθ,sinθ?， 222????uuuruuuruuur则PA?(PB?PC)?(1?cos?,?sin?)?(?1?2cos?,?2sin?)
?(1?cos?)(?1?2cos?)?2sin2??2cos2??cos??1?2sin2??1?cos??2.
当????，即P??1,0?时等号成立. 故选：D.
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 3．函数f(x)?Asin(?x??4)(??0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到
?3函数g(x)?Acos?x的图象，只需将f(x)的图象（ ）
A．向左平移
?12个单位 B．向右平移
?个单位 43?个单位 4C．向左平移【答案】A 【解析】
?个单位 4D．向右平移
依题意有f?x?的周期为T?2???2ππ??,??3,f?x??Asin?3x??.而34????π?ππ?π?π?π??g?x??Asin?3x???Asin?3x????Asin?3?x????，故应左移.
2?44?12????12?4?x2y24．已知椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且PF?AF，若
abtan?PAF?A．
1 41，则椭圆的离心率e为（ ） 211B． C．
23D．
2 3【答案】C 【解析】 【分析】
?b2?1不妨设P在第一象限，故P?c,?，根据tan?PAF?得到1?e?2e2?0，解得答案.
2?a?【详解】
2b?b?1，即a2?ac?2c2?0， 不妨设P在第一象限，故P?c,?，a?a?tan?PAF?a?c?21即1?e?2e2?0，解得e?，e??1（舍去）.
22故选：C. 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．
7 8B．
15 8C．
3116 D．
15 16【答案】D 【解析】 【分析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】
执行该程序可得S?0?故选：D． 【点睛】
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．
6．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中?，e为无理数） ①e?111115????． 2122232416323；②ln??；③ln3?. 23eA．0 【答案】C 【解析】 【分析】
B．1 C．2 D．3
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数
2f?x??lnx?,x?0，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到f????f?e?，即可判定是错误
3的；对于③中，构造新函数f?x??elnx?x,x?0，利用导数求得函数的最大值为f?e??0，进而得到
f?3??0，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由(e)?e,()?所以是正确的；
对于②中，设函数f?x??lnx?因为??e，则f23293?2.25，可得e?2.25，根据不等式的性质，可得e?成立，4212,x?0，则f??x???0，所以函数为单调递增函数， 3x????f?e?
2212?1???0，所以f????0，即ln??，所以②不正确； 3333ee?x对于③中，设函数f?x??elnx?x,x?0，则f??x???1?，
xx又由f?e??lne?当x?(0,e)时，f??x??0，函数f?x?单调递增， 当x?(e,??)时，f??x??0，函数f?x?单调递减，
所以当x?e时，函数取得最大值，最大值为f?e??elne?e?0， 所以f?3??eln3?3?0，即eln3?3，即ln3?故选：C. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
7．设等差数列?an?的前n项和为Sn，且S8?0，a3??3，则S9?( ) A．9 【答案】A 【解析】 【分析】
B．12
C．?15
D．?18
3，所以是正确的. e
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