1．平衡问题与正交分解法
题型1．物体在粗糙水平面上的匀速运动 例1．如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3, 物体质量为m=5.0kg．现对物体施加一个跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力F，使物体沿水平面做匀速运动．求拉力F的大小．
解析：物体受四个力：mg 、 FN、f、F ．建立坐标系如图所示．将拉力F沿坐标轴分解．
Fx = F cosθ Fy = Fsinθ 根据共点力平衡条件，得
X轴：∑ Fx = 0 Fcosθ — f = 0 ………⑴
Y轴：∑ Fy = 0 Fsinθ + FN — mg = 0………⑵ 公式 f = μ FN ………⑶ 将⑵⑶代入⑴ F cosθ= μ FN = μ (mg — Fsinθ )
?mg0.3?5.0?9.8?15Ncos???sin?解得 F = =0.8?0.3?0.6归纳解题程
序：定物体，分析力→建坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果．
变式1：如果已知θ 、m、F，求摩擦因数μ。
变式2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F，θ、m、μ均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。
?mg0.3?5.0?9.8??0.8?0.3?0.623.71N 结果 F = cos???sin?讨论：当θ增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。求这个临界角。这里
的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为
?mgcosθ—μsinθ =
F 时
?mg当 F→∞时，
F → ０ 则令cosθ—μsinθ = 0
1所以有 co t θ= μ 或 tanθ =
1? θ = tan—1 ?
变式3．如果先用一个水平拉力F0恰好使物体沿水平面做匀速运动．则这个F0有多大？现在用同样大小的力F0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多大？
解法一：物体受五个力：mg 、 FN、f 、两个 F0。由共点力平平衡条件得 当只有一个F0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F0 = f = μ mg 水平方向∑Fx = 0 F0+ F0cosθ — f = 0
竖直方向∑Fy=0 FN— F0sinθ —mg = 0 解得 μ = cotθ θ = cot —1μ .
解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力F0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有 F0 cosθ = △f = μ Fsinθ 所以得 co t θ = μ
题型2．物体在粗糙斜面的匀速运动
例2．（见教材P65例2）物体A在水平力F1=400N的作用下，沿倾角θ =60°的斜面匀速下滑，如图⑴所示，物体A受的重力G =400N.．求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数μ．
解析：物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所示．建立坐标系，分解mg和F．由共点力平衡条件得 x轴 mgsin60° —f—Fcos60° = 0………⑴ y轴 FN —mgcos60°—Fsin60° = 0 ………⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶ 由⑴ f = mg sin60°— Fcos60° = 400×3/2 —400×0.5 = 146N
由⑵ FN =mgcos60° + Fsin60° = 546N 由⑶ μ = f / FN = 146 /546 = 0.27．
变式1．如果m、θ= 60°、μ= 0..27保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？
解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力f改为沿斜面向下。
物体匀速下滑，摩擦力f沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所示．建立坐标系，分解mg和F．由共点力平衡条件得 x轴 Fcos60°—f—mgsin60°= 0………⑴ y轴 FN —mgcos60°—Fsin60° = 0 ………⑵
公式 f = μ FN ……… ⑶ 由以上三式得
sin60o??cos60omg?oocos60??sin60 F = 1481.5N
变式2．如果物体A的质量m，A与斜面间的动摩擦因数μ，斜面倾角θ=60°
是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力F多大时，物体能保持不动． 解析：⑴用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力fmax= μ FN ,方向沿斜面向上，
物体受力： mg ，FN ，fmax．F．如图⑴所示．建立坐标系，分解mg和F． 由共点力平衡条件得
x轴 mgsinθ —fmax—Fcosθ = ………0⑴ y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0……… ⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶
sin???cos?mgcos???sin?由⑴⑵⑶解得 F =
⑵当物体恰好不上滑时，fmax沿斜面向上，物体受力如图⑵所示，在两坐轴上
的方程如下
x轴 Fcosθ—fmax—mgsinθ= 0………⑷ y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0 ………⑸ 公式 f = μ FN ……… ⑹
sin???cos?mg由以上三式解得 F = cos???sin?
要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力F的取值范围是
sin???cos?sin???cos?mgmgcos???sin?cos???sin? ≤ F≤
变式练习：如果推力F沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围
如何？
题型3．物体沿竖直墙壁运动
例3．物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为μ，用一个斜向上的推力F可以使物体沿竖直墙壁做匀速运动，物体质量为m．求F的大小．
解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。 ⑴物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图⑴所示。由共点力平衡条件得 x轴 F1sinθ = FN………1 ⑴ y轴 F1cosθ = mg + f1……… ⑵ 公式 f1 = μ FN1 ………⑶
mg由⑴⑵⑶得 F1 = cos???sin?
变式1．如图所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F作用在物体上，要使物体A静止于墙上，则F的取值是____________。
变式2．重为30N的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成θ=53°的推力F=50N托住物体。物体处于静止，如图所示。这时物体受到的摩擦力是多少？
题型4．质量为5kg的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为37°时,木块
恰能沿木板匀速下滑．当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37°=0.6, cos37°=0.8,g=10N/kg）.
解析：木块沿木板匀速下滑时，有 mgsinθ = f = μ mgcosθ 得 μ = tan θ = 0.75
当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力
F = f = μ mg = 0.75×5×10 N = 37.5N
变式题．质量为3kg的物体，放在倾角为30°的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体
物体能否保持匀速运动
解析：物体自由地匀速下滑时，有 mgsinθ — μ mgcosθ = 0………⑴ 或变为 sinθ — μ cosθ = 0………⑵
当对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力 G′ = F + mg ………⑶
则物体沿斜面方向受的合力为
∑F = G′sinθ—μG′cosθ = ( F + mg)sinθ—μ (F+ mg)cosθ………⑷ 将⑴式代入⑶得∑ F = F (sinθ — μ cosθ ) = 0 即物体仍然做匀速运动。
变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为m的
球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？ 解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：Ｍgsinθ — μＭgcosθ = 0 在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为
∑F =( M +m) g sinθ— μ( M+m) g cosθ = mg ( sinθ —μ cosθ ) = 0
木箱仍然能保持匀速运动。小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有 FN = mgsinθ
题型6．如图所示，质量为m＝5kg的物体，置于倾角为?＝30°的粗糙斜面块上，用
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