对上式两边求导，得??1?x??xn??x?n?1?x????nn?1?nxn?1?
?1n?12n?2kn?kn?22n?1?nCnx??n?1?Cnx????n?k?1?Cnx???3Cnx?2Cnx?1，
??1?x??x?n?1?x??nn?1?nxn?1?
?1n?12n?2kn?kn?22n?1?xn?nCnx??n?1?Cnx????n?k?1?Cnx???3Cnx?2Cnx?1， 2?F?x???1?x2??x2?n1?x????nn?1． ··········································· 10分 ?nx2?n?1?????F?1??F?0??2n?1?n?2??n?1．
因此结论成立．······························································································ 12分
13. （2013年山东卷21题）（本小题满分13分）
设函数f(x)?x?c(e?2.71828?是自然对数的底数，c?R). 2xe（1）求f(x)的单调区间，最大值； （2）讨论关于x的方程|lnx|?f(x)根的个数. 解答：（1）f'(x)?1211?2x'x?，令得，， f(x)?02e2x当x?(??,),f'(x)?0,函数单调递增； 11x?(，??),f'(x)?0,函数单调递减；所以当x?时，函数取得最的最大值 221fmax(x)??c 2e1（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到?c，然后递减2e到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。 故令f(1)=0得，c??所以当c??当c??1， e21时，方程有两个根； 2e1时，方程有一两个根； 2e1当c??2时，方程有无两个根. e
17
14.（2013年陕西卷21题）.(本小题满分14分)
x已知函数f(x)?e,x?R.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设a f(a)?f(b)与f(b)?f(a)的大小, 2b?a并说明理由. e2e2(Ⅱ) 当m ?(0,)时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 44e2?（，??）有2个公共点； 4(Ⅲ) f(a)?f(b) 2> f(b)?f(a) b?a【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数g(x)?lnx. 设直线y＝kx＋1与g(x)?lnx相 ?kx0?1?lnx0?22?2切与点P(x0，y0)，则?1?x0?e,k?e 。所以k?e ??k?g'(x0)?x0?(Ⅱ) 当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 的公共点个数即方程f(x)?mx2 根的个数。 exexxex(x?2)由f(x)?mx?m?2,令h(x)?2?h'(x)?， 2xxx2则 h(x)在(0,2)上单调递减，这时h(x)?(h(2),??); e2h(x)在(2,??)上单调递增. ,这时h(x)?(h(2),??).h(2)?4 h(2)是y?h(x)的极小值即最小值。所以对曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数，讨论如下： e2e2当m ?(0,)时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 44 18 e2?（，??）有2个公共点； 4(Ⅲ) 设 f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b) ??2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e 2?(b?a)2?(b?a)令g(x)?x?2?(x?2)?ex,x?0,则g'(x)?1?(1?x?2)?ex?1?(x?1)?ex。 g'(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以g'(x)在（0，??）上单调递增，且g'(0)?0.因此g'(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0)?0, 所以在(0,??)上g(x)?0。 ?当x?0时，g(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b, (b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa??e?0 2?(b?a)所以当a 设函数fn(x)?xn?bx?c(n?N?,b,c?R). （1）当n?2,b?1,c??1时，求函数fn(x)在区间(1,1)内的零点； 2（2）设n≥2,b?1,c??1，证明：fn(x)在区间(1,1)内存在唯一的零点； 2（3）设n?2，若对任意x1,x2???1,1?，有 f2(x1)?f2(x2)≤4求b的取值范围． 19 （2）证明：因为 fn()<0，fn(1)>0。所以fn()?fn(1)<0。所以fn(x)在 1(，1)内存在零点。 21任取x1、x2?(,1),且x1
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