辽宁省沈阳二中2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
?x?2y?2?0,?x?y?21．已知变量x，y满足?x?1,则的取值范围是（ ）
x?1?x?y?1?0,??1??3??19??1?,2,3,,3????????A．?2? B．?2? C．?24? D．?2?
??x?y?2?0????2．已知D??(x,y)|?x?y?2?0?，给出下列四个命题：
??3x?y?6?0????P1：?(x,y)?D，?2?x?y?2；P2：?(x,y)?D，
y?0； x?3P3：?(x,y)?D，x?y??2；P4：?(x,y)?D，x2?y2?2；其中真命题是（ ）
A．
P1和P2 B．P1和P4 C．P2和P3 D．P2和P4
3．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA?平面ABC，AB?BC，SA?1，AB?BC?2，则球S的表面积为（ ）
59ππ9π5π22A． B． C． D．
4．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面； ③若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，真命题的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若函数f(x)?6xex?2ax3?3ax2存在三个极值点，则a的取值范围为（ ）
A．(0,e)
?1?1?0,?(,??)B．?e? C．(e,??) D．e
??1?e?6．等差数列{an}中,前n项和为Sn,公差d?0,且S7?S11,若??e,??,则a10?
B．?6 C．
A．0
a10的值不确定 D．
a10?6
上的一动点，到双曲线的上焦
7．已知双曲线的离心率，点是抛物线
点A．
的距离与到直线 B．
的距离之和的最小值为 C．
D．
，则该双曲线的方程为（ ）
x2y28．已知点F1，F2是椭圆2?2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P
abruuuruuuuuur的延长线上，且|PQ|=|PF2|，若|PQ|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ）
3141A．5 B．3 C．5 D．9
9．等比数列?an?中，a3??2，a11??8，则a7?（ ） A．?4 B．4
C．?4 D．?5
10．已知全集U?R，集合A?{x|x2?1}，则CUA??( ) A．(??,?1)U(1,??) C．(?1,1)
D．[?1,1]
B．(??,?1]U[1,??)
11．已知f(x)是R上的奇函数，x?0时， f(x)?lnx?x?1，则函数y?f(x)的大致图象是（ ）
A． B．
C．
12．f(x)?x?2 D．
ln|x|，则函数y=f(x)的大致图像为（ ） xA． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
22ox?y?4x?0交于A，B两点，则AB?______． 6013．若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆
14．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．
2xx?（-?，1）（?5，??），15．若对于任意的都有?2(a?2)x?a?0,则实数a的取值范围是______．
???y?sin?2x??3?的图像向右平移??16．在平面直角坐标系xOy中，将函数
平移后得到的图像经过坐标原点，则?的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
???0?????2?个单位长度.若?17．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为
??1?cos2???8cos?P?2,0?，直线?cos??1与曲线C相交于M,N两点，直线l过定点且倾
MN的值；若
斜角为?，l交曲线C于A,B两点．把曲线C化成直角坐标方程，并求成等比数列，求直线l的倾斜角?． 18．（12分）如图，在棱长为2的正方体
PA，
MN，
PB中，M是线段AB上的动点．
证明：平面；
的余弦值；
若点M是AB中点，求二面角判断点M到平面19．（12分）已知数列求数列
的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
b?log2a2n?1?an?的前n项和Sn满足2an?2?Sn．?a?求证：数列n是等比数列；设n，
n?bn?的前n项和T．
四点共圆,
为钝角且
,
,
,
20．（12分）如图,
求
21．（12分）已知数列数列
满足
;设,,求
,且
的值.
成等比数列. 求
的通项公式； 若
为公差不为的等差数列,满足
,且
求数列
的前项和.
22．（10分） [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为
?x?3cos???(cos??2sin?)?10，C的参数方程为?y?2sin?（?为参数，??R）.写出l和C的普通方程；在
C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．A 10．A 11．A 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．2 14．
15．(1,5](或1?a?5)
?16．6
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) 答案见解析 (2) a?【解析】 【分析】
?4或
3? 4（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；
（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得． 【详解】
解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ， ∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x． 由ρcosθ=1得x=1，
?2x?1由?y?4x的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4． ?（2）直线l的参数方程为：y?tsin?(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x， 得t2sin2α-4tcosα-8=0，
设A，B两点对应的参数为t1，t2， 则t1+t2=
?x?2?tcos?4cos?8tt=-，， 12
sin2?sin2?因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列， ∴|PA||PB|=|MN|2=16， ∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16， ∴
812=16sinα=，∴， sin2?2∵0≤α＜π， ∴sinα=2， 2∴α=
3??或α=．
44【点睛】
??cos??x???sin??y??2?x2?y2本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为?；在解决直线与
抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用。 18．（1）证明见解析；（2）；（3）点到平面【解析】 【分析】
（1）利用正方体的性质得求出平面
和平面
，由线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系的法向量的距离等于的距离即可.
，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）上任意一点到平面
的距离，结合（2）和点到面的距离公
的距离为定值
.
由（1）得点到平面式得点到平面【详解】
（1）证明：因为在正方体平面（2）
在正方体
，
中，，平面，平面，
中，
，
，
，，两两互相垂直，则建立空间直角坐标系
，
，
如图，
所示，则，所以
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