高三文科数学三角函数专题测试题（含答案）

高三文科数学三角函数专题测试题（含答案）

1．在△ABC中，已知asin A

b＝cos B，则B的大小为(B)

A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：由正弦定理a

b

asin A＝sin B得b＝sin A

sin B

，

∴

sin Asin B＝sin A

cos B

，即sin B＝cos B，∴B＝45°. 2．在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝(B)

A.6 B．26 C．43 D．2

解析：由正弦定理得

4sin 45°＝c

sin 60°

，即c＝26.

3．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(B) A．43 B．23 C.3 D.3

2

解析：利用正弦定理解三角形．

2在△ABC中，AC32×

2

sin B＝BCBC·sin B

sin A，∴AC＝sin A

＝ 3

＝23.

24．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，则a∶b∶c＝(A)

A．1∶3∶2 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．1∶2∶2

解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2. 5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(A)

A．A>B B．A

解析：sin A＞sin B?2Rsin A＞2Rsin B?a＞b?A＞B(大角对大边)． 6．在△ABC中，∠ABC＝π

4

，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝(C)

A.

1010310 B.5 C.1010 D.55

解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2

－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝5.再由正弦定理BCACsin∠BAC＝sin∠ABC，

可得sin∠BAC＝310

10

.

7．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B等于(C)

A．30° B．45° C．60° D．120°

222

解析：cos B＝c＋a－b2ac＝4＋1－34＝1

2. ∴B＝60°.

8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(B)

A．90° B．120° C．135° D．150°

解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得： 2

2

2

cos θ＝5＋8－72×5×8＝1

2

，∴θ＝60°.

∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 9．在△ABC中，b2

＋c2

－a2

＝－bc，则A等于(C)

A．60° B．135° C．120° D．90°

2

2

2

解析：cos A＝b＋c－a2bc＝－1

2

，∴A＝120°.

10．在△ABC中，∠B＝60°，b2

＝ac，则△ABC一定是(D)

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

解析：由b2

＝ac及余弦定理b2

＝a2

＋c2

－2accos B，得b2

＝a2

＋c2

－ac，∴(a－c)2

＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．

11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为(B)

A．52 B．213 C．16 D．4

解析：设夹角为α，所对的边长为m，则由5x2

－7x－6＝0，得(5x＋3)(x－2)＝0，故得x＝－35或x＝2，因

此cos α＝－35，于是m2＝52＋32

－2×5×3×???－35???

＝52，∴m＝213.

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2

＋c2

－b2

)tan B＝3ac，则∠B＝(B)

A.π

B.π2ππ63或

3 C.6或5π6 D.π3

解析：由(a2

＋c2

－b2

)tan B＝3ac得a2

＋c2

－b2

＝

3ac

tan B

，再由余弦定理得： cos B＝a2

＋c2

－b2

2ac＝32tan B，即tan Bcos B＝32，即sin B＝3π2π

2，∴B＝3或3.

13．在△ABC中，asin Asin B＋bcos2

A＝2a，则ba

＝(D)

A．23 B．22 C.3 D.2

解析：∵asin Asin B＋bcos2

A＝2a.

由正弦定理可得sin Asin Asin B＋sin Bcos2

A＝2sin A，

1

即sin B＝2sin A，∴bsin B

a＝sin A

＝2.

14．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(C)

A．－

2222663 B.3 C.3 D.3或－6

3

解析：由正弦定理得15sin 60°＝10

sin B，

∴sin B＝10·sin 60°15＝3

3.

∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角．

∴cos B＝1－sin2

B＝1－??3?2

6?3??

＝3. 二．填空题

15．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________． 解析：由正弦定理得ABBC

sin C＝sin A，解得BC＝6，

∴S12·sin B＝12×6×6×3

△ABC＝AB·BC2＝93.

答案：93

16．在△ABC中，A＝45°，a＝2，b＝2，则角B的大小为________． 解析：由2sin 45°＝2sin B得sin B＝1

2，由a＞b知A＞B，∴B＝30°.

答案：30°

17．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则b＝________，c＝________．解析：由正弦定理知sin B＝sin C

，即b＝1

bc2

c，又b＋c＝12，解得b＝4，c＝8.

答案：4 8

18．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π

3，则∠C的大小为________．

解析：在△ABC中，由正弦定理知

a

sin A＝bsin B， 3×

3即sin B＝bsin A

2a

＝3＝12

. 又∵a>b，∴∠B＝π

6.

∴∠C＝π－∠A－∠B＝π

2. 答案：π2

19．(2013·上海卷)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2＋2ab＋3b2－3c2

＝0，则cos C＝__________________.

2

2

2

解析：由3a2

＋2ab＋3b2

－3c2

＝0得a2

＋b2

－c2

＝－2a＋b－c1

3ab，从而cos C＝2ab＝－3

.

答案：－1

3

20．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝9

10

，则BC＝________．

解析：由余弦定理得：AB2

＝AC2

＋BC2

－2AC·BC·cos C，即：5＝25＋BC2

－9BC，解得：BC＝4或5. 答案：4或5

21．在△ABC中，化简b·cos C＋c·cos B＝________． 解析：由余弦定理得：

2

2

2

2

2

2

原式＝b·a＋b－ca＋c－b

2ab＋c·2ac 2

2

2

2

2

2

＝a＋b－ca＋c－b

2a＋2a＝a.

答案：a

22．在△ABC中，a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________．

解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B， 故B＝πasin B3，由正弦定理知sin A＝1

b＝2，

又a＜b，因此A＝π6，从而C＝π

2，即sin C＝1.

答案：1

2

2

2

23．已知△ABC的三边a，b，c，且面积S＝a＋b－c

4

，则角C＝________．

2

2

2

2

2

2

解析：由12absin C＝a＋b－c4得a2＋b2－c2

＝2absin C，再由余弦定理cos C＝a＋b－c2ab得sin C＝cos C，

∴C＝π

4

.

答案：π

4

三、解答题

24．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形． 解析：由正弦定理得

3sin A＝23sin 45°，得sin A＝2

. ∵a＞b，∴A＞B＝45°， ∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，

2

c＝bsin C6＋2sin B＝2

. 即b2＝(a＋c)2

－2ac－2ac·??1?－2???

，

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， ∴ac＝3.

c＝bsin C6－sin B＝22

. 故S11333

△ABC＝2acsin B＝2×3×2＝4

.

综上可得A＝60°，C＝75°，c＝

6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－2

2

. ．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cos C＝1

4

.

(1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值．

解析：(1)∵c2＝a2＋b2

－2abcos C＝1＋4－4×14＝4，∴c＝2.∴△ABC的周长为1＋2＋2＝5.

(2)∵cos C＝12

15 4，∴sin C＝1－cosC＝4

，

222222

cos A＝

b＋c－a2＋2－2bc＝12×2×2＝7

8

. 2

∴sin A＝

1－??7 ?8??15?

＝8.

∴cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝71151511

8×4＋8×4＝16.

26．在△ABC中，acos?

?π?2－A???＝bcos??π?2－B???

，判断△ABC的形状．

解析：∵acos??π?2－A??

?＝bcos??π?2－B???， ∴asin A＝bsin B.

由正弦定理可得：a·a2R＝b·b

2R，

∴a2

＝b2

.∴a＝b. ∴△ABC为等腰三角形．

27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C＝2B. (1)求cos B的值；

(2)若b2

＝ac，求sin Asin C的值．

解析：(1)由2B＝A＋C和A＋B＋C＝180°，得B＝60°，∴cos B＝1

2.

(2)由已知b2＝ac及正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝sin2

60°＝34.

28．在△ABC中，B＝120°，若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积． 解析：由余弦定理得：b2

＝a2

＋c2

－2ac·cos B，

3

25