安徽省萧县中学2014—2015学年度第一学期第二次强化训练
高二数学试题
（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填写在答题卷相应的位置，答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选
择一个符合题目要求的选项。 1. 命题p:存在实数m，使方程x2?mx?1?0有实数根，则“?p”形式的命题是（C ）
A.存在实数m，使方程x2?mx?1?0无实数根 B.对任意实数m，方程x2?mx?1?0有实数根 C.对所有实数m，方程x2?mx?1?0无实数根 D.至多有一个实数m，使方程x2?mx?1?0有实数根 2. “p?q是真命题”是“p?q是真命题”的 (A )
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
3. 若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,0,4)，则( B )
A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l与α斜交
4. 设a,b,c为空间任意向量，下列命题为真命题的是（ D ）
A. 若|a|?|b|,则a?b 或a??b B. 若a?b?a?c则b?c C. (a?b)?c?a?(b?c)
D. |a|?2|b|,且?a,b??45?，则（a?b)?b?0
5. 命题“2x2?5x?3?0”的一个必要不充分条件是（ C ）
A、1?x?3 B、?3?x?1 2
C、 ?11?x?4 D、??x?3 226. 椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( A )
A.332
B. C. 242
2
D. 3
7. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中M为AC和BD的交点，若A1B1?a,A1D1?b,A1A?c，则下列
向量中与B1M相等的是（ A ）
A. ?a?
121 b?c
2 B.
11a?b?c 22- 1 -
111b?c D. ?a?b?c 2228. 正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E是A1C1的中点，则E到AB的距离是( C )
C. a?A．2
B.3 C.19 2
D.
10 2
129. 已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的
4
3
面积为 ( B )
A．3(2＋3)
B．3(2－3) C．2＋3
D．2－3
x2y2
10. 棱长为2的正四面体ABCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立坐标系， →
M为AB中点，则OM的坐标为( A )
13636A．(，－，) B．(1，－，)
2636613636C．(，－，) D．(1，－，)
26636
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 与?=（3，－4，12）平行的单位向量是 。
x2y2
12. 直线x－2y＋2＝0过椭圆a2＋b2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．
13. 已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，则AC=_________.
14. 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，
234
则PG与底面所成的角余弦值为__________. 17
15. 在正方形ABCD中，AB=2，，将它沿AC折起，使(BA,CD)= 60°角，则B、D之间的距离是 2 。 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.已知：a?0且a?1，设命题p：函数y?loga(x?1)为减函数；命题q：曲线
y?x2?(2a?3)x?1与x轴交于不同的两点.若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围.
17. （本题满分12分）若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5) （1）若(ka+b)∥(a－3b)，求实数k的值； （2）若(ka+b)⊥(a－3b)，求实数k的值；
- 2 -
（3）若ka?b取得最小值，求实数k的值． 解：(1)k??； (2)k?1068； (3)k?? 32713
18. （本题满分12分）边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
图2－5－10
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面AMD夹角的大小．
【解】 (1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴，y轴，建立如图所示空间坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)，M(2，2,0)． →→
∴PM＝(2，1，－3)，AM＝(－2，2,0)， →→
∴PM·AM＝－2＋2＋0＝0， →→
即PM⊥AM，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)，且n⊥平面PAM，
?n·→PM＝2x＋y－3z＝0则?→
?n·AM＝－2x＋2y＝0.
取y＝1，得n＝(2，1，3)，取p＝(0,0,1)，显然p⊥平面ABCD，
- 3 -
n·p32
∴cos〈n，p〉＝＝＝，结合图形可知，平面PAM与平面AMD的夹角为45°.
|n|·|p|62
019. 如图所示，在平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，?BAD??BAA'??DAA'?60，
(1)若AB?1,AD?2,AA'?3,求AC' (2)若AB?AD，求证A'C?BD
(3) 若AB?AD,问
AA'AB为多少时？AC'?面A'BD
x2y25
20. (本小题满分13分)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆
ab5于M，N两点．
(1) 若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式． c5[解析] (1)由已知b＝4，且＝，
a5
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