2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆

2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆

基础巩固强化

一、选择题

x2y2

1．(文)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )

2516A．4 C．8 [答案] D

[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.

x2y2

(理)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2

167的周长为( )

A．32 C．8 [答案] B

[解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.

→→

x2y2

2．(文)(2012·丽水模拟)若P是以F1、F2为焦点的椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点，且PF1·PF2＝

ab1

0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )

2

A.

52 B. 33

1

D. 2

B．16 D．4 B．5 D．10

1C. 3

[答案] A

2c5

[解析] 在Rt△PF1F2中，不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2.|F1F2|＝5，∴e＝＝. 2a3

(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1、F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )

132A.或 B.或2 2231

C.或2 2[答案] A

[解析] 设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t>0)， 3t1

若Γ为椭圆，则离心率为e＝＝，

6t23t3

若Γ为双曲线，则离心率为＝.

2t2

1

23D.或 32

x2y2

3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|

259等于( )

A．2 B．4 3

C．8 D.

2[答案] B

[解析] 连接MF2.已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－|MF1|＝8. 1

如图，|ON|＝|MF2|＝4.故选B.

2

x2y2

4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭

ab圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2

A.＋＝1 4536x2y2

C.＋＝1 2718[答案] D

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵A、B在椭圆上，

x2y2

B.＋＝1 3627x2y2

D.＋＝1 189

?∴?xy

?a＋b＝1.

222222x2y2112＋2＝1，ab

22

x2y21－x22－y1

两式相减得，2＝2，

ab

?x1－x2??x1＋x2??y2－y1??y2＋y1?

即＝，

a2b2∵AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， y2－y1b2

∴k＝＝2，

x2－x1a

－1－01b21

又∵k＝＝，∴2＝，

2a21－3

又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，∴b2＝9，a2＝18，

2

x2y2

∴椭圆E的标准方程为＋＝1，故选D.

189

5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )

x2y2

A.＋＝1 8172x2y2

C.＋＝1 8145[答案] A

1

[解析] 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方

3x2y2

程为＋＝1.

8172

(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )

x2y2

A.＋＝1 86

x2y2

B.＋＝1 166x2y2

B.＋＝1 819x2y2

D.＋＝1 8136

x2y2x2y2C.＋＝1 D.＋＝1 84164[答案] A

x2y243[解析] 设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知2＋2＝1.又|PF1|，|F1F2|，

ababc1

|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝

a26.

x2y2

6．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )

10064643A.

3163C.

3[答案] A

[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2. 又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝1643∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝. 23二、填空题

x2y2

7．(文)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|

2516＝3，则P点到椭圆左焦点距离为________．

[答案] 4

3

913B.

364D. 3

256， 3

[解析] |OM|＝3，|PF2|＝6， 又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.

x22

(理)(2013·池州二模)已知点M(3，0)，椭圆＋y＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM

4的周长为________．

[答案] 8

[解析] M(3，0)与F(－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(－3，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.

8．若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________． 7π3π

2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z [答案] ?62??

??－cosα>sin2α，[解析] 根据题意知，?cosα<0，

??sin2α>0.

1??－1≤sinα<－2，

化简得，?

??cosα<0.73

2kπ＋π，2kπ＋π?(k∈Z)． 解得α∈?62??

11

?|x|≤2，x2y2

9．已知椭圆M：2＋2＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：?内，向

ab?|y|≤3.

π

Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．

4

x2y2

[答案] ＋＝1

43[解析]

平面区域Ω：

?|x|≤2，

是一个矩形区域，如图所示， ?

?|y|≤3.

4