平面几何重要定理2

平面几何重要定理（二）（高一数学417）

与三角形有关的重要定理 1.梅涅劳斯定理

一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则

BDDC?CEEA?AFFB?1。

证明：

说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本定理图形应该有两个。 （2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。 （3）其逆定理为：如果D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线上），并且

BDDC?CEEA?AFFB?1，那么D、E、F三点在同一条直线上。

（4）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。 例1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：

。

例2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：

。

例3．过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、BA的延长线交于P、Q、R。求证：P、Q、R三点共线。（莱莫恩定理）

BAQR

CP例4.设四边形ABCD的一组对边AB和CD的延长线交于点E，另一组对边AD和BC的延长线交于F，则AC的中点L，BD的中点M及EF的中点N三点共线。（牛顿定理） （注：直线LMN称为四边形ABCD的牛顿线。若四边形ABCD有内切圆⊙O，则O点在牛顿线上。） E

2.塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D，E，F，则

BDDC?CEEA?AFFB?1。

BALMCDFN证明：

说明：（1）该定理可借助于梅氏定理来证明（也可用面积法来证明）。如果O点在三角形外，结论仍然是成立的。

（2）其逆定理为：分别在△ABC三边（所在直线）BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若有

BDDC?CEEA?AFFB?1，则AD、BE、CF交于一点。

证明：

（3）塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点（线共点）问题的重要定理，应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。

例5．在△ABC的边BC上取一点D，设∠ADB，∠ADC的平分线与AB、AC分别交于F、E，求证：AD、BE、CF交于一点。

A

FEC

例6.设P是△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB交于D、E、F，过D、E、F三点作圆，与三边又交于D’、E’、F’。求证：AD’、BE’、CF’三线交于一点。

例7.设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点。 证明：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A （自学余弦定理）

B C1PAB1BDAE'FF'BD'DCPE

A1C3.三角形的五心

（1）三角形的三条中线共点（重心），三条角平分线共点（内心），三条高线共点（垂心），三条中垂线共点（外心）。

（2）三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离d?此公式称为欧拉式，由此还得到R?2r。R(R?2r)。

当且仅当△ABC为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R和r分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。

（3）与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

例8．△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉定理，其中H、G、O的连线称为欧拉线。）

例9.设△ABC不是直角三角形，O为△ABC的外心，H为垂心，直线OH交AC于K，交AB于L，已知OK=HL，求∠A的值。

ALBOHKC