高等代数II-试题03

高等代数(Ⅱ)试题三

一. 单项选择题 (2分?5=10分)

1．设V是实数域R上n ( n >1)阶对角形矩阵构成的向量空间, 则V的维数是 ( )

A. 1 B. n C. 2n D. n2

2．设?是n(n>1)维向量空间V的可逆线性变换, { ?1, ?2, ?, ?n}是V的一个基,

下列结论中正确的是 ( )

?(?1), ?(?2), ?, ?(?n)线性无关 B. ?(?1), ?(?2), ?, ?(?n)线性相关

C. ?(?1), ?(?2), ?, ?(?n)可能线性无关, 也可能线性相关

A.

D. 前三种说法都不对

3．下列向量组中线性无关的一组是 （ ）.

,,?,?2,2,2?,?12,,1?? B. ??111,,?,?12,,1?,?0,0,0?? ??111C. ??111,,?,?12,,1?,?2,1,4?,?315,,?? D. ??111,,?,?11,,0?,?1,0,0??.

A.

4．下列哪一个是向量空间F2[ x]的基 ( ) A. { 1, x, 2x } B. { x, 2x, 3x} C. { x, x2, x3} D. { 1, 1+x, 1+x2}

?012??? 5. 下列哪一组数是矩阵A = ?02?1?的特征值 ( )

?003???A．｛0，2，3｝ B.｛0，2，—1｝ C.｛0，0，3｝ D. ｛0，1，2｝ 二. 多项选择题 (3分?4=12分)

1. 若n阶矩阵A的行列式不为零, 下列说法中正确的是 ( )

A. A的行向量线性相关 B. A的列向量线性相关 C. A的行向量线性无关 D. A的列向量线性无关 E. 矩阵A的秩是n

2. 下列变换中, 哪些是向量空间R2(R是实数域)的线性变换 ( ) A. ( x1, x2 ) ? ( x1, 0 ) B. ( x1, x2 ) ? ( 0, x2)

C. ( x1, x2 ) ? ( x, x) D. ( x1, x2 ) ? (x1+x2 , x2 )

E. ( x1, x2 ) ? (x1, x1－x2)

3. 下列向量组中, 哪些是向量空间R3(R是实数域)的基 ( ) A. { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } B. { ( 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 1 ) } C. { ( 0, 0, 0 ), ( 1, 0, 0 ), ( 1, 1, 0 ) } D. { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), ( 1, 0, 0 ) } E. { ( 1, 0, 0 ), ( 1, 2, 0 ), ( 1, 2, 3 ) } 4.

?1,?2,?3,?4,?5都是向量空间V的线性变换, 令它们对应着各自的矩阵(在同一个基下),

1

问哪些是可逆的线性变换. ( ) A.

?1 ???01?? B. ?2 ? ??11?? C. ?3 ? ??11??

???????4 ? ??01?? E. ?5 ? ??11?? ????

?11?

?01?

?00??00??10?

D.

三. 判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”，否则画“×”,2分?5=10分） 1. 如果?是n维向量空间V的不可逆线性变换, 那么零一定是?的一个特征值 ( )

2. 若V1,V2都是向量空间V的子空间, 则V1∪V2也是V的子空间 ( ) 3. 设?,?都是向量空间V的可逆线性变换, 则?+?也是可逆的线性变换 ( ) 4. 设?是线性变换?的特征值,

?1,?2是属于?的两个线性无关的特征向量

则k1?1+k2?2(k1,k2是数)也是?的属于?的特征向量 ( )

5. 设V是n (n>1)维欧氏空间, 那么V一定有标准正交基 ( )

四. 计算题（7分?4=28分）

1.求向量组 ?1 = (1, 2, 1), ?2 = (2, 1, 3)，?3 = (3, 0, 4), 关组. 并把其余向量用该极大线性无关组线性表示. 2．求齐次线性方程组的一个基础解系.

?4= (5, 1, 6) 的一个极大线性无

?x1?x2?5x3?x4?0?x?x?2x?3x?0?1234 ?3x?x?8x?x?0234?1??x1?3x2?9x3?7x4?0?460??? 3．求矩阵A??-3?50?的特征值及相应的特征向量.

?-3-61??? 4．设｛?1,?2, ?3, ?4｝是向量空间V的一个基, 且V的线性变换?在这个基下的矩阵是

0?1???12 ?12??2?2? 求?(V)与Ker?.

五. 证明题（10分?4分）

1．证明：相似矩阵有相同的特征多项式. 2．设?1,

21??13?. ?55?1?2???2, ?, ?n(n>1)是欧氏空间V的一正交向量组, 证明这个向量组线性无关.

3. 证明：数域F上任一个n维向量空间V都与向量空间Fn同构. 4. 设?是n维向量空间V的线性变换, 证明,

?是单射当且仅当?是满射.

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