第一篇 集合与不等式 专题1.01 集 合
【考纲要求】
1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 【知识梳理】 1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
?(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A??B或B?A.
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算
符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
1
集合的补集 若全集为U，则集 {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} {x|x∈A，或x∈B}
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A. 【微点提醒】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C. 3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB). 【疑难辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】
(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集. (2)错误. 当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. (3)正确.
(4)错误. 含有n个元素的集合有2n－1个真子集. 【教材衍化】
2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 019}，a＝22，则( ) A.a∈P B.{a}∈P C.{a}?P
D.a?P
【答案】D 【解析】
因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 019的自然数构成的集合，所以a?P，只有D正确. 3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________. 【答案】 64
2
【解析】由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个). 【真题体验】
4. ①（2019·全国Ⅰ卷）已知集合M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0?，则MIN=（ ） A．{x?4?x?3? C．{x?2?x?2? 【答案】C 【解析】
B．{x?4?x??2? D．{x2?x?3?
M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0??{x?2?x?3},?AIB?{x?2?x?2?.
② (2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( ) A.{x|－1 B.{x|－1≤x≤2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2} C.{x|x<－1}∪{x|x>2} 【答案】B 【解析】 法一 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}. 法二 因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}. 5.(2019·菏泽模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B. 【答案】 ? 【解析】 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以A?B. 6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________. 【答案】 2 【解析】 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 【考点聚焦】 考点一 集合的基本概念 3 【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( ) A.M＝N C.M∩N＝? B.M?N D.N?M 11?? (2)若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝?－1，0，2，2，3?的所有非空子集中具有“伙伴 x??关系”的集合的个数是( ) A.1 【答案】 (1)D (2)B 【解析】 (1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N?M. 1?1?1?? (2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，?2，2?，?－1，2，2?. 2????【规律方法】 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 B.3 C.7 D.31 (2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围为________. 【答案】 (1)A (2)(1，2] 【解析】 (1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素. ???（2－a）2<1，?1 ?(2)由题意得解得? ?（3－a）2≥1，?a≤2或a≥4.?? 所以1 考点二 集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A.A?B C.A?B B.B?A D.B＝A (2)(2019·杭州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1 4
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