设圆C与x轴的交点分别为点A，B，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠2πACB＝.
3
所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为(－2,1)． 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.
(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1.
?y＝mx＋1，?x＝0，??
?由?得22
???x＋2?＋?y－1?＝4??y＝1
－4
x＝??m＋1，或?m－4m＋1
y＝??m＋1.
22
2
?－4m－4m＋1?，N(0,1)．
不妨令M?2，m2＋1??m＋1?
因为以MN为直径的圆恰好经过点O，所以
2
??????????－4m2－4m＋1?(0,1) OM·ON＝?m2＋1，m2＋1?·
??
m2－4m＋1
＝＝0，
m2＋1解得m＝2±3， 故所求直线l的方程为
y＝(2＋3)x＋1或y＝(2－3)x＋1.
14.已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
(1)求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；
(2)当PQ＝23时，求直线l的方程；
?????????(3)探究AM·AN是否与直线l的倾斜角有关．若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
1
[解] (1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，∴kl＝3.
3又kAC＝3，∴当l与m垂直时，l必过圆心C. (2)①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＝0.
∵PQ＝23，∴CM＝4－3＝1. |－3＋k|4
∴CM＝2＝1，得k＝.
3k＋1
∴直线l：4x－3y＋4＝0.
故所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
???????????????????????????????????????????????(3)∵CM⊥MN，∴AM·AN＝(AC＋CM)·AN＝AC·AN＋CM·AN＝AC·AN. ①当l与x轴垂直时，
????55
－1，－?，则AN＝?0，－?. 易得N?3?3????????????????????????又AC＝(1,3)，∴AM·AN＝AC·AN＝－5.
??y＝k?x＋1?，
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由?
?x＋3y＋6＝0，?
得点N?
?－3k－6，－5k?.
??1＋3k1＋3k?
?????－5－5k?
，∴AN＝??. ?1＋3k1＋3k?
?????????????????－5－15k∴AM·AN＝AC·AN＝＋＝－5.
1＋3k1＋3k
??????????????????综上所述，AM·AN与直线l的倾斜角无关，且AM·AN＝－5.
专题2—3 必修2模块复习答案
一、填空题
ππ
1. 有一个内接于球的四棱锥P－ABCD，若PA⊥底面ABCD，∠BCD＝，∠ABC≠，BC
22 ＝3，CD＝4，PA＝5，则该球的表面积为________. 答案 50π
2. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成 的角等于________. 答案 60°
3. 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为 坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________. 答案 y2＝±8x.
4. 经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l的倾斜角α的取值范围为________________. π3π
答案 [0，]∪[，π)
44
5. 已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，若l1∥l2，则α＝________.
π
答案 α＝kπ±，k∈Z
4
6. 在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中 为假命题的是________.(填序号) ①α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ； ②l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥n； ④α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β. 答案 ④
7. 设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线， 切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________. 答案
3
8. 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900 则点A到平面PBC的距离为________.
答案 2
x22
9. 椭圆＋y＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一
4 动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.
2626 答案 (－，)
33
10.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和 A2B2，使A1B1＝A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该 双曲线的离心率的取值范围是________. 23?
答案 ?
?3，2?
二、解答题
11. 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作 AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点. 求证：（1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA.
证明 (1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点， 则EF∥AB，FG∥BC，
又EF∩FG＝F，因此平面EFG∥平面ABC. (2)由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，
知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB， 因此BC⊥SA.
12.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点， 点F在棱CC1上，已知AB?AC,AA1?3,BC?CF?2. （1）求证:C1E∥平面ADF;
（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF ?
解：（1）连接CE交AD于O，连接OF． 因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，从而OF//C1E．
OF?面ADF，C1E?平面ADF， 所以C1E//平面ADF．
（2）当BM=1时，平面CAM?平面ADF． 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
由于B1B?平面ABC，BB1?平面B1BCC1，所以平面B1BCC1?平面ABC． 由于AB=AC，D是BC中点，所以AD?BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD?平面B1BCC1．
而CM?平面B1BCC1，于是AD?CM．
因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以Rt?CBM≌Rt?FCD，所以CM?DF．
DF与AD相交，所以CM?平面ADF． CM?平面CAM，所以平面CAM?平面ADF．
当BM=1时，平面CAM?平面ADF．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆 心在l上.
（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围. 解 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点
CFCO2??． CC1CE3C D O E A B F C1 M B1
A1
（第12题）
相关推荐：
loading