第4讲 二次根式
【考纲要求】
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)2＝a(a≥0)． 2．能用二次根式的性质a2＝|a|来化简根式． 3．能识别最简二次根式、同类二次根式．
4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算. 【命题趋势】
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点. 【考点探究】
考点一、二次根式有意义的条件 【例1】若使
x＋1
有意义，则x的取值范围是________． 2－x
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，
??x＋1≥0，
可得不等式组?解得－1≤x＜2.
?2－x>0，?
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．
触类旁通1 要使式子
a＋2
有意义，则a的取值范围为__________． a
考点二、二次根式的性质 【例2】把二次根式a1－化简后，结果正确的是( ) a
A．－a B．－－a C．－a D．a 解析：要使a所以a答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
1－＝aa
11
－有意义，必须－＞0，即a＜0. aaaa－a－2＝＝－－a. a－a
第 1 页 共 5 页
触类旁通2 如果a－2＝1－2a，则( )
1111
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
2222考点三、最简二次根式与同类二次根式
【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( ) A．2x2 B．b2＋1 C．4a D．1 x
(2)在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是( ) A．2a B．3a2 C．a3 D．a4
解析：(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a2＝3|a|，a3＝aa，a4＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出a3与a是同类二次根式．
答案：(1)B (2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
触类旁通3 若最简二次根式考点四、二次根式的运算 【例4】计算：(50－8)÷2.
解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式． 【经典考题】
1．(2013株洲)要使二次根式2x－4有意义，那么x的取值范围是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
2．(2013义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
第 2 页 共 5 页
a＋b3a与a＋2b是同类二次根式，则ab＝__________.
3．(2013杭州)已知m＝?－?
3?×(－221)，则有( ) 3?A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5
x?2
4．(2013广东)若x，y为实数，且满足|x－3|＋y＋3＝0，则??y?__________．
5．(2013德阳)有下列计算：①(m2)3＝m6，②4a2－4a＋1＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)
【模拟预测】
1．下列各式计算正确的是( ) A．2＋3＝5 B．2＋2＝22 C．32－2＝22 D．2．估计8×12－10
＝6－5 2
012
的值是
1＋3的运算结果在( ) 2
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．若a＜1，化简a－2－1等于( )
A．a－2 B．2－a C．a D．－a 4．已知实数a满足|2 011－a|＋a－2 012＝a，则a－2 0112的值是( ) A．2 011 B．2 010 C．2 012 D．2 009 5．计算2
1－62
1＋8的结果是( ) 3
A．32－23 B．5－2 C．5－3 D．22 6．若x＋1＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
7．当－1＜x＜3时，化简：x－2＋x2＋2x＋1＝__________. 8．如果代数式4
有意义，则x的取值范围是________． x－3
9．计算：(－3)0＋12×3＝__________. 10．计算：?
1?－1
－23－(π－2)0＋|－1|. ?3?
11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.
第 3 页 共 5 页
12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋
1
. 3＋2参考答案
【考点探究】
??a＋2≥0，
触类旁通1．a≥－2且a≠0 由题意，得?解得a≥－2且a≠0.
?a≠0，?
触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性， 1
所以1－2a≥0，解得a≤，故选B.
2
???a＋b＝2，?a＝1，?触类旁通3．1 由题意，得解得? ?3a＝a＋2b，???b＝1.
∴ab＝1. 【经典考题】
1．C 因为二次根式有意义，则2x－4≥0，所以x≥2.
2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间． 3．A m＝?－?
223?
×(－221)＝3×21＝×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5
333?
＜28＜6，即5＜m＜6，故选A.
x?2 0122 012
4．1 由题意得x－3＝0，y＋3＝0，则x＝3，y＝－3，所以?＝(－1)＝1. ?y?5．①④⑤ ②4a2－4a＋1＝(2a－1)2＝|2a－1|，③m6÷m2＝m62＝m4，这两个运算是
－
错误的． 【模拟预测】
1．C A项中2与3不是同类二次根式，B项中2与2不是同类二次根式，C项中32－2＝(3－1)2＝22，D项中原式＝12－4
10＝3－4
510＝3－. 22
2．C 原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4. 3．D
(a－1)2－1＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a.
4．C 由算术平方根的意义知，a≥2 012，则2 011－a＜0， ∴a－2 011＋a－2 012＝a.∴a－2 012＝2 011. ∴a－2 012＝2 0112， ∴a－2 0112＝2 012.
23
5．A 原式＝2×－6×＋22＝2－23＋22＝32－23.
23
第 4 页 共 5 页
6．1 因为由题意得x＋1＝0，y－2 012＝0，所以x＝－1，y＝2 012，所以xy＝(－1)2
012
＝1.
7．4 原式＝(x－3)2＋(x＋1)2＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4. 8．x＞3
9．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7. 10．解：原式＝3－23－1＋1＝－3.
11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－2. 12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－23.
第 5 页 共 5 页
相关推荐：
loading