2011年镇海中学数学特长生招生考试试题1(1)

2011年镇海中学数学特长生招生考试试题

第一试 2011年1月24日 15:00—17:00 满分60分 姓名： 成绩:

一、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）

1．方程(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?8的实数解是 ．

QEA2．已知实数a,b满足a2?b2?(a?b)2?100，则a4?b4?(a?b)4

B= ．

3．如图所示，△ABC为等边三角形，CD=AE，∠BQA=100o， 则∠QBE= ．

4．如图所示ABCD是一个平行四边形，延长AD至点F．联结 BF分别交线段AC、CD于点E、G．已知BG=60，BF=90，则 BE= ．

DCFDGECB5．已知31000是一个478位数，用a表示31000的各位数码之和，A用b表示a的各位数码之和，用c表示b的各位数码之和．则c= ．

6．已知y是一个四位数，而且是一个完全平方数．y在十进制表示下的个位数、十位数、

百位数、千位数别为a、b、a?1、b．则y= ．

二、解答题（第7至9题，每题4分；第10至15题，每题5分．共计42分）

?8a2?7c2?16ab?7．求方程组?2的实数解． 2??9b?4d?8cd

8．已知a,b为常数，一元二次方程ax2?bx?b?0的一个实根与ax2?ax?b?0的一个实根的乘积等于1．求这两个根．

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9．已知a,b为整数，二次函数y?x2?ax?b满足：x?0时，|y|?800；x?120时，y是一个素数．求证：方程x2?ax?b?0没有整数根．

10．整数m,n,k满足k2?m2?n2?2(m?n)(k?m?n)．求证：2mn是完全平方数．

11．正整数a,b,x,y满足a2?b2整除ax?by，求证：x2?y2与a2?b2有大于1的公因数．

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12．黑板上写着若干个（有限多个）非零实数．求证：其中必有一数，其它每个数既不等于它的3倍，也不等于它的二分之一．

13．1 ~ 100的整数排成圆周（次序任意），算出每三个相继数之和，共得到100个和数．证明：其中必有两个和数之差不小于3．

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14．已知在以AB为直径、S为圆心的半圆上有两点C、D，满足点C在?AD上且∠CSD为直角，点E、F分别为直线AC与BD、AD与BC的交点．证明：EF=AB．

E

C F

AS

DB15．圆O1和圆O2交于点A、B，一条直线l1过点B，与圆O1、O2的不同于点B的交点分别为C、E（B在C和E之间），另一直线l2过点B，与圆O1、O2的不同于点B的交点分别为D、F（B在D和F之间），线段CE、DF的中点分别为M、N．

求证：△ACD∽△AEF∽△AMN． M

C

D

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AFNBE