高考复习理科数学专题强化训练：立体几何含解析(2)

教学资料范本 高考复习理科数学专题强化训练：立体几何含解析 (2) 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 16 (十八) 立体几何 一、选择题 1．[20xx·石家庄一模]已知三棱锥P－ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°； (1)证明：平面PAC⊥平面ABC； (2)设F为棱PA的中点，求二面角P－BC－F的余弦值． 解：(1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝23， ∴PC2＋BC2＝PB2， ∴PC⊥BC， 又PC⊥AB，AB∩BC＝B， ∴PC⊥平面ABC，∵PC?平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC. (2)解法一：在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C－xyz. 则C(0,0,0)，P(0,0,23)，A(2,0,0)，B(1，3，0)，F(1,0，3)． 设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， ?→CB·m＝x1＋3y1＝0，则??→CP·m＝23z1＝0，0， 取y1＝－1，则x1＝3，z1＝即m＝(3，－1,0)为平面PBC的一个法向量． 设平面BCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 2 / 16 ?→CB·n＝x2＋则??→CF·n＝x2＋3y2＝0，3z2＝0， 取x2＝3，则y2＝－1，z2＝－1，即n＝(3，－1，－1)为平面BCF的一个法向量， |cos〈m，n〉|＝|m·n||3＋1＋0|25＝＝， |m||n|2×3＋?－1?2＋?－1?25由题图可知二面角P－BC－F为锐角， 25∴二面角P－BC－F的余弦值为. 5解法二：由(1)可知PC⊥平面ABC，又PC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ABC， ∴二面角P－BC－F的余弦值就是二面角A－BC－F的正弦值， 作FM⊥AC于点M，则FM⊥平面ABC， 作MN⊥BC于点N，连接FN，则FN⊥BC， ∴∠FNM为二面角A－BC－F的平面角． ∵点F为PA的中点，∴点M为AC的中点， 13在Rt△FMN中，FM＝PC＝3，MN＝， 2215FM25∴FN＝，∴sin∠FNM＝＝， 2FN525∴二面角P－BC－F的余弦值为. 52．[20xx·郑州质量预测二]如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC,2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE. 3 / 16 (1)求证：BC⊥BF； (2)求二面角F－CE－B的正弦值． 解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，即BC⊥AB， 又平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ABEF，又BF?平面ABEF， ∴BC⊥BF. (2)由(1)知BC⊥平面ABEF，故建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， ?33??设AF＝1，则由已知可得B(0,0,0)，C(0,2,0)，F?，0，??，22??→＝(1,2，－3)， E(－1,0，3)，EC?53??→→＝(0,2,0)， EF＝?，0，－?，BC2??2?设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有 ?n·→EC＝0，??n·→EF＝0 x＋2y－3z＝0，????53x－z＝0，?22? 令x＝3，则z＝5，y＝23，即n＝(3，23，5)为平面CEF的一个法向量． 设平面BCE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有 4 / 16