高一数学集合知识点归纳及典型例题
一、、知识点：
本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本 章 知 识 结 构
集合的概念 列举法 集合的表示法 集合 特征性质描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 交集 集合的运算 并集 补集 1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
子集 相等
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：
A?CUA?UA?B?B?AA?A?AA?????A??A?B?B?AA?A?AA?????A?AA?CUA??CU(CUA)?AA?B?A?CUB???B?CUA?U
A?B?A?B?A A?B?A?B?B
还要尝试利用Venn图解决相关问题。
二、典型例题
例1. 已知集合A?{a?2,(a?1),a?3a?3}，若1?A，求a。
22a?2?1,或（a?1）?1,或a?3a?3?1 ?1?A?根据集合元素的确定性，解：得：
2若a＋2＝1， 得:a??1， 但此时a?3a?3?1?a?2，不符合集合元素的互异性。
22若(a?1)?1，得：a?0,或-2。但a??2时，a?3a?3?1?(a?1)，不符合集合元素的互异性。
若a?3a?3?1,得：a??1,或－2。
2222但a?-1时,a?2?1;a?-2时，(a?1)2?1，都不符合集合元素的互异性。
综上可得，a ＝ 0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。
?2x?1?0中只含有一个元素，求a的值。
2解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax?2x?1?0只有一个解。
1x??2 （1）a?0时,方程化为2x?1?0，只有一个解
（2） a?0时,若方程ax?2x?1?0只有一个解
2例2. 已知集合M＝?x?R|ax2?需要??4?4a?0,即a?1.
综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1
【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。
例3. 已知集合A?{x|x?x?6?0},B?{x|ax?1?0},且BA，求a的值。 解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。 若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。
2
1若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 3。
1?若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 2。
11?综上所述，可知a的值为a＝0或a＝3，或a ＝ 2。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。
2例4. 已知方程x?bx?c?0有两个不相等的实根x1， x2. 设C＝{x1， x2}， A＝{1，3，
5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若A?C??,C?B?C，试求b， c的值。
解：由C?B?C?C?B， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。 又因为A?C??，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10} 因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40
【小结】对A?C??,C?B?C的含义的理解是本题的关键。
例5. 设集合A?{x|?2?x?5},B?{x|m?1?x?2m?1}， （1）若A?B??， 求m的范围； （2）若A?B?A， 求m的范围。
解：（1）若A?B??，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2 当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2 当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4
当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ 综上所述，可知m<2， 或m>4 （2）若A?B?A， 则B?A， 若B＝Φ，得m<2
?m?1??2??2m?1?5?m?1?2m?1 若B ≠ Φ，则?，得：2?m?3
综上，得 m ≤ 3
【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。
例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|x?A}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。 解：因为x?A，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A， 于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B
三、练习题
1. 设集合M＝{x|x?17},a?42,则（ ） A. a?M
B. a?M
C. a ＝ M
D. a > M
2. 有下列命题：①{?}是空集 ② 若a?N,b?N，则a?b?2③ 集合
{x|x?2x?1?0}有两个元素 ④ 集合
题的个数是（ ） A. 0 B. 1
C. 2
2B?{x|100?N,x?Z}x为无限集，其中正确命
D. 3
3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）} B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}
C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1} D.M＝{1，2}， N＝{2，1}
22M?{2,3,a?1},N?{a?a?4,2a?1}，若M?N?{2}， 则a的取值集4. 设集合
合是（ ）
1{?3,2,}2 A.
A. a?2
1{?3,}2 B. {－3} C. D. {－3，2}
5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且A?B， 则实数a的范围是（ ）
B. a?2
C. a?1
D. a?1
y?1}x6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝， 则集合A，B的关系是（ ）
A. AB B. BA C. A＝B D. A?B
{(x,y)|7. 已知M＝{x|y＝x2－1} ， N＝{y|y＝x2－1}， 那么M∩N＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________ 9. 若A?{x|x?3x?2?0},B?{x|x?ax?a?1?0},且B?A，则a的值为_____ 10. 若{1，2，3}?A?{1，2，3，4，5}， 则A＝____________
11. 已知M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值 12. 已知集合A?{x|x?4x?p?0},B?{x|x?x?2?0}且A?B,求实数p的范围。
13. 已知A?{x|x?ax?a?19?0},B?{x|x?5x?6?0}，且A，B满足下列三个条件：① A?B ② A?B?B ③ Φ
2222222A?B，求实数a的值。
四、练习题答案
1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. {0，1，2} 9. 2，或3
10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}
??a?2??a?2a?a?b?a?0?a?0?b?????211. 解：依题意，得：?b?b或?b?2a，解得：?b?0，或?b?1，或???a??a?0??b??b?1 结合集合元素的互异性，得?或?12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2}
① 若A ＝ Φ，即 ??16?4p?0，满足A?B，此时p?4
1412
1412。
② 若A??，要使A?B，须使大根?2?4?p??1或小根?2?4?p?2（舍），解得：
3?p?4
所以 p?3
13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由A?B?B，知A?B。 而由 ①知A?B，所以A 又因为Φ
B。
A?B，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。
222 当A＝{2}时，将x＝2代入x?ax?a?19?0，得4?2a?a?19?0?a??3或5
经检验，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。
22当A ＝ {3}时，将x＝3代入x?ax?a?19?0，得
经检验，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。 综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。
9?3a?a2?19?0?a??2或5
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