高等代数练习卷

??110???一、设复矩阵A???430?

?102???（1）求A的最小多项式；

（2）求A的初等因子；

（3）求A的若当标准形. （15分）

二、已知二次型

f?x1,x2,x3??2x12?2x22?2x32?2x1x2?2x1x3?2ax2x3，

22， f?y12?y2?4y3通过某个正交线性变换可化为标准形（1）写出二次型

f的矩阵A及A的特征多项式，并确定a的值；

（2）求出作用的正交线性变换； （3）二次型

三、设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,f是否正定？求出

f的正惯性指数.（18分）

,?m为V中的正交向量组，令

,s?

W???(?,?i)?0,??V,i?1,2,（1）证明：W是V的一个子空间；

（2）证明：W?L??1,?2,?,?m?.(12分)

四、设V是全体次数不超过n的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义V上的线性变换A：

?1A(f(x))?xf'(x)?f(x),2?f(x)?V

（1）写出线性变换A在基1,x,x?1,,xn?1下的矩阵；

（2）求A的核A(0)和值域AV； （3）证明：V?A(0)?AV.（16分） 五、V=Pn?n为数域P上n阶方阵组成的线性空间，V1为数域P上n阶对称方阵的集合，V2为数域P上n阶反对称方阵的集合，求证：V1和V2均为V的子空间，且有V?V1?V2.（14分）

六、.设P是数域，p3?3表示P上的所有3?3矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，p3?33?3是P上的线性空间，令V?A?P|TrA?0，

??求V的维数和V的一组基.（10分）

七、设A,B是向量空间V的两个线性变换，且AB?BA 证明：(1)B的值域BV与核B?1(0)都是A的不变子空间;

(2)若?0是A的一个特征值，则A的特征子空间V?0是B的不变子空间. （15分）