D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，n?1＋2n－1?2
其前n项和等于Sn＝＝n，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
2
3．观察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4，2?3,3?2,4?1，…，则式子3?5是第
( )
A．22项 C．24项
B．23项 D．25项
解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.
4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
5．若等差数列{an}的前n项之和为Sn，则一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．若等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有( )
A．T2n－1＝(2n－1)＋bn C．T2n－1＝(2n－1)bn
B．T2n－1＝(2n－1)bn
n1
D．T2n－1＝b2 n
－
解析：选D 在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an， a2＋a2n－2＝2an, …，故有S2n－1＝(2n－1)an，
2
在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b2n，b2·b2n－2＝bn，…， n1故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b2. n
－
6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为( )
A．f(n)＝2n－1 C．f(n)＝2n2－2n
B．f(n)＝2n2 D．f(n)＝2n2－2n＋1
解析：选D 因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A．3 971 C．3 973
B．3 972 D．3 974
解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有n?n＋1?
2个数，…，根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数．由于2 016＝
263×?63＋1?64×?64＋1?
＜2 019＜＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由22于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n组最后一个数是n2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.
8．观察下列等式：
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n行最左侧的数为n；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n个等式左侧的数的个数为2n－1，而第n个等式右侧为(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
9．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；4
三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四
3维空间中，“特级球”的三维测度V＝12πr3，则其四维测度W＝________.
解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′4
＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S，
3∴四维空间中“特级球”的三维测度V＝12πr3，猜想其四维测度W满足W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4.
答案：3πr4
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0，{an}的通项公式是________________．
解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.
由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n. 答案：an＝(n－1)λn＋2n
11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为
5－1
，此类椭圆被称为“黄金椭2
＋
圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
x2y2
解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，
ab则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， ―→―→
所以FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)． ―→―→―→―→
易知FB⊥AB，所以FB·AB＝b2－ac＝0， 所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，
又e＞1，所以e＝答案：
5＋1
2
5＋1
. 2
12．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，OA′OB′OC′C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：
AA′BB′CC′
OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC
＋＋＝＋＋＝＝1. AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC
请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．
解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．
则
OEOFOGOH
＋＋＋＝1. AEDFBGCH
证明：在四面体OBCD与ABCD中， 1
S△·h
OEh13BCD1VO
＝＝＝AEh1VA
S△BCD·h3
BCDBCD
.
OFVO-ABCOGVO-ACDOHVO-ABD
同理有＝，＝，＝.
DFVD-ABCBGVB-ACDCHVC-ABD∴＝
OEOFOGOH＋＋＋ AEDFBGCH
VO-BCD＋VO-ABC＋VO-ACD＋VO-ABDVA-BCD
＝＝1.
VA-BCDVA-BCD
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