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大学解析几何

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大学解析几何

空间解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|?a1?a2?a3 （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）

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????222??????????????????ia?b?a1??ja2b2?ka3 b3?b1 100 / 19100

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5、（1）a//b?a??b?????????a1a2a3?? b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为

?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

注意：法向量为n?(A,B,C)垂直于平面

2、平面的一般方程Ax?By?Cz?D?0，其中法向量为n?(A,B,C) 3、（1）平面过原点(0,0,0)? Ax?By?Cz?0

（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）?法向量n垂直于x轴

?By?Cz?D?0

???（如果D?0，则平面过x轴）

平面与y轴平行（与xoz面垂直）?法向量n垂直于y轴

?Ax?Cz?D?0

?（如果D?0，则平面过y轴）

平面与z轴平行（与xoy面垂直）?法向量n垂直于z轴

?Ax?By?D?0

?（如果D?0，则平面过z轴）

（3）平面与xoy面平行?法向量n垂直于xoy面?Cz?D?0

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