课时2 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是________．
答案 f(－2)、f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值
332
例2 (2015·青岛二模)已知函数f(x)＝ax－3x＋1－(a∈R且a≠0)，求函数f(x)的极大
a值与极小值．
?2?2
解 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax－6x＝3ax?x－?.
?
a?
2
令f′(x)＝0得x＝0或. a当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ ↗ 0 0 极大值 2(0，) 2aa 2(，＋∞) a－ ↘ 0 极小值 ＋ ↗ 343?2?∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f??＝－2－＋1.
a?a?
aa当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x f′(x) 2(－∞，) 2aa 2(，0) a0 0 (0，＋∞) － － 0 ＋ 1
f(x) a↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 3∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，
f(x)极小值＝f??＝－2－＋1.
aa?a?
3
综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，
?2?
43
af(x)极小值＝f??＝－2－＋1.
aa?a?
命题点3 已知极值求参数
例3 (1)已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
3
2
2
?2?
43
a21
(2)若函数f(x)＝－x＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是
322
____________．
10
答案 (1)－7 (2)(2，) 3
解析 (1)由题意得f′(x)＝3x＋6ax＋b，则
??a＋3a－b－1＝0，?
?b－6a＋3＝0，?
2
2
x3
??a＝1，
解得?
?b＝3?
??a＝2，
或?
?b＝9，?
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值， 而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. 1
(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，
2
1122
则当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≤0
22恒成立．
1110
当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；
2x312
当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≥0，
21
即a≤x＋恒成立，a≤2；
x12
当x∈(，3)时，f′(x)＝x－ax＋1≤0，
2110
即a≥x＋恒成立，a≥. x3
1
因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，
2
2
10
实数a的取值范围是(2，)．
3
思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
1
(1)函数y＝2x－2的极大值是________．
x(2)(2015·陕西)函数y＝xe在其极值点处的切线方程为________． 1
答案 (1)－3 (2)y＝－ e
2
解析 (1)y′＝2＋3，令y′＝0，得x＝－1.
xx当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0. ∴当x＝－1时，y取极大值－3.
(2)设y＝f(x)＝xe，令y′＝e＋xe＝e(1＋x)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当
xxxxx＞－1时，y′＞0，故x＝－1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，
1?111?－1
又f(－1)＝－e＝－，故切点坐标为?－1，－?，切线方程为y＋＝0(x＋1)，即y＝－. e?eee?题型二 用导数求函数的最值
例4 已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
1
解 (1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
axx11x－1
所以f′(x)＝－2＋＝2，x∈(0，＋∞)．
xxx11
因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.
441
又f(2)＝ln 2－，
2
3
11
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－)＝(x－2)，即x－4y＋4ln 2
24－4＝0.
(2)因为f(x)＝＋ln x－1，
axa1x－a所以f′(x)＝－2＋＝2. xxx令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值． ②若0
③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减， 所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.
e
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值； 当0 e思维升华 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 1 已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax (a>)，当x∈(－2,0) 2 时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________． 答案 1 解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1. 11 令f′(x)＝－a＝0，得x＝， aaxa1 当0 a1 当x>时，f′(x)<0. a?1?∴f(x)max＝f??＝－ln a－1＝－1，解得a＝1. ?a? 题型三 函数极值和最值的综合问题 4
相关推荐：
loading