答案 18
解析 ∵函数f(x)＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
??1＋a＋b＋a＝10，即???3＋2a＋b＝0，??a＝－3，而当?
?b＝3?
3
2
3
2
2
??a＝－3，
解得?
??b＝3
??a＝4，
或???b＝－11.
2
时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x＋4x－11x＋16， ∴f(2)＝18.
5．已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f′(x)＝3x＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a－4×3(a＋6)>0，即a－3a－18>0. ∴a>6或a<－3.
6．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
317
答案 －
3
解析 f′(x)＝x＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]， 17
得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，
3
2
2
2
2
3
2
x3
2
f(2)＝－，可知最小值为－.
7．设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)
解析 ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. ∵函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝e＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－e<－1，∴a＝－e<－1.
8．函数f(x)＝x－3ax＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________． 答案 (
2
，＋∞) 2
2
2
3
2
103173
xxxxxxx解析 f′(x)＝3x－3a＝3(x＋a)(x－a)， 由f′(x)＝0得x＝±a，
9
当－a
2. 2
2
，＋∞)． 2
2
3
3
3
3
∴a的取值范围是(
9．设f(x)＝a(x－5)＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值． 解 (1)因为f(x)＝a(x－5)＋6ln x， 6
所以f′(x)＝2a(x－5)＋.
2
x令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
1
由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝. 212
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)＋6ln x(x>0)，
2
f′(x)＝x－5＋＝x6x－
xx－
.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3. 当0
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2 9 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 29 综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为＋6ln 22，极小值为2＋6ln 3. 10．已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e. 10 xx令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － ↘ k－1 0 －ek－1(k－1，＋∞) ＋ ↗ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0 f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1 ； 当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当1 f(k－1)＝－ek－1； 当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. B组 专项能力提升 (时间：20分钟) 11．定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式 fxe x<1的解集为__________． 答案 (0，＋∞) 解析 构造函数g(x)＝ fxe xe·f，则g′(x)＝ xx－ex·fxx2 ＝fx－fxe x.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝所以fxe x在R上单调递减．又g(0)＝fe 0 ＝1， fxe x<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)． 12.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为________． 答案 ③ 11 解析 根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①、④；从适合 f′(x)＝0的点可以排除②. 13．函数f(x)＝x－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________． 答案 (－1,1) 解析 令f′(x)＝3x－3a＝0，得x＝±a， 则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： (－(－∞，－(a，＋∞) ＋ ↗ 23 x a) f′(x) f(x) ＋ ↗ －a a，a) a 0 极大值 － ↘ ?a＝1，???b＝4. 0 极小值 ?－a3－3a－a＋b＝6， 从而? ?a3－3aa＋b＝2， 所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)． 解得? 14．若函数f(x)＝x－3x在(a,6－a)上有最小值，则实数a的取值范围是________． 答案 [－2,1) 解析 f′(x)＝3x－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点． 函数f(x)在区间(a,6－a)上有最小值，则函数f(x)极小值点必在区间(a,6－a)内， 即实数a满足a<1<6－a且f(a)＝a－3a≥f(1)＝－2. 解a<1<6－a，得－5 即a－3a＋2≥0，即a－1－3(a－1)≥0， 即(a－1)(a＋a－2)≥0， 即(a－1)(a＋2)≥0，即a≥－2. 故实数a的取值范围是[－2,1)． 15．已知函数f(x)＝(ax－2)e在x＝1处取得极值． (1)求a的值； (2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值； (3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e. (1)解 f′(x)＝ae＋(ax－2)e ＝(ax＋a－2)e， xxxx2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 32 12
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