第11讲 空间几何体
[考情分析] 空间几何体的命题常以三视图为载体，以几何体或者组合体的面积、体积等知识为主线进行考查，难度中等，相对稳定．个别试题融入对函数与不等式的考查，难度较大．
热点题型分析
热点1 空间几何体的三视图
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．
2.由三视图还原直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面；
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱的位置；
(3)确定几何体的直观图形状．
3.多角度、多维度、多方位观察长方体、三棱锥、四棱锥不同放置的投影，在头脑中形成较为清晰的模型意象，提升空间想象能力．
1.(2018·全国卷Ⅰ) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A.217 B．25 C．3 D．2 答案 B
解析 根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为4＋2＝25，故选B.
2
2
2.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
答案 A
解析 解题时在题图2的右边放扇墙(心中有墙)可得答案为A.
1.三视图与直观图相互转化时，根据观察视角的不同，实虚线的正确使用至关重要，它是决定几何体形状的关键因素．
2.解题时可以借助长(正)方体为框架，充分利用正(长)方体中棱与面的垂直关系进行投影. 热点2 空间几何体的表面积与体积(高频考点)
1.空间几何体的常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式 ①S直棱柱侧＝ch(c为底面周长，h为体高)；
S圆柱侧＝ch(c为底面周长，h为体高)；
1
②S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
2
12
S圆锥侧＝cl(c为底面周长，l为母线)；
1
③S正棱台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高)；
2
12
S圆台侧＝(c＋c′)l(c′，c分别为上，下底面的周长，l为母线)．
12
(2)柱体、锥体、台体的体积公式 ①V柱＝Sh(S为底面面积，h为体高)； 1
②V锥＝Sh(S为底面面积，h为体高)；
3
1
③V台＝(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上，下底面面积，h为体高)(不要求记忆)．
3(3)球的表面积和体积公式 ①S球＝4πR(R为球的半径)； 43
②V球＝πR(R为球的半径)．
32.求解几何体的表面积及体积的技巧
(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上；
(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解；
(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．
1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个面是梯形，这些梯形的面积之和为( )
2
A.10 B．12 C．14 D．16 答案 B
解析 根据三视图，得到该几何体的直观图如右图所示，由图可知，该几何体的面AA′DC和面
BB′DC是两个全等的梯形，因此所求的梯形面积和为2×(2＋4)×2×＝12，故选B.
12
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
16
A．8π－
3C.8π－4 答案 A
解析 该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体， 111162
∴体积V＝π×2×4－××2×4×4＝8π－. 2323
3.(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
16
B．4π－ 38
D．4π＋ 3
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