81π27πA. B．16π C．9π D.
44答案 A 解析 由图知，
R2＝(4－R)2＋2，
∴R＝16－8R＋R＋2， 9∴R＝. 4
8181π2
∴S表＝4πR＝4π×＝，故选A.
164
12.三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝23，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC体积的最大值是( )
A.4 B．3 C．43 D．32 答案 B
解析 依题意，三棱锥各顶点在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝23，则△ABC的截面为球大圆上的三角形，设圆心为O，AB的中点为N，则ON＝1.因为平面PAB⊥平面ABC，所以三棱锥P－ABC的132
体积取最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN＝3，所以三棱锥的最大体积为××(23)×3＝3，
34故选B.
二、填空题
13．如图，三棱柱ABC－A′B′C的底面面积为S，高为h，则三棱锥A′－BB′C的体积为________．
2
2
1答案 Sh
3
1
解析 三棱柱可以分割为体积相等的三个三棱锥，故三棱锥体积为棱柱体积的.
3
14.(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
答案
π 4
解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为2，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径1
为.又因为四棱锥的侧棱长均为5，所以四棱锥的高为 2
5
2
π?1?22
－1＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝π??·1＝.
4?2?
43ππ
15.已知在三棱锥P－ABC中，VP－ABC＝，∠APC＝，∠BPC＝，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥
343平面PBC，那么三棱锥P－ABC外接球的体积为________．
答案
32π
3
ππ
解析 根据题意三棱锥如图，取PC中点D，连接AD，BD.因为∠APC＝，∠BPC＝，PA⊥AC，PB43⊥BC，所以AD＝PD＝CD＝BD，因此D即为三棱锥外接球球心．由直角三角形可得PC＝2r，PB＝r，BC＝3
r.又因为平面PAC⊥平面PBC，AD⊥PC，所以AD⊥平面PCB，故VP－ABC＝·AD··PB·BC＝r＝2，所以外接球的体积为V＝πr3＝
4
3
32π
. 3
13123343r＝?63
16.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．
3
答案 118.8
解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm， 113
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm)．
32又V长方体＝6×6×4＝144(cm)，
所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm)， 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
3
3
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