《复变函数论》试题库
梅一A111
《复变函数》考试试题（一）
?dz1、 |z?z0|?1(z?zn?__________.（n为自然数） 0)222.
sinz?cosz? _________. 3.函数sinz的周期为___________.
f(z)?14.设
z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
?5.幂级数
?nzn的收敛半径为__________.
n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若limn??zz1?z2?...?znn??lim，则n??n?______________. s(ezRen,0)?8.z________，其中n为自然数.
9. sinzz的孤立奇点为________ .
lim10.若z0是
f(z)的极点，则z?zf(z)?___0.
三.计算题（40分）：
f(z)?11. 设
(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.
2. ?1|z|?1coszdz.
3?2?7??13. 设
f(z)??C??zd?，其中
C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).
w?z?14. 求复数
z?1的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，
那么它在
D内为常数.
2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
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《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分) 1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__
2.
设
f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，zl?1?iif(z)m?________.
3.
?dz|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）
?4. 幂级数
?nzn的收敛半径为__________ .
n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________. 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.
10. Res(z?1z4,1)?____.
三. 计算题. (40分)
1. 求函数
sin(2z3)的幂级数展开式. 则
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z在正
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
z?i处的值.
3. 计算积分：I??i?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）
的右半圆.
?sinzz?2dz4. 求
(z??)22.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.
2
3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.
4. sin2z?cos2z?___________.
dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） 0)?6. 幂级数
?nxn的收敛半径为__________.
n?07. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设
ez??1，则z?___.
9. 若z0是
f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
0z10. Res(ezn,0)?____.
三. 计算题. (40分)
11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.
??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：
?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.
4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常
数，那么它在D内为常数.
2. 设
f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数
R及M，使得当
|z|?R时
|f(z)|?M|z|n，
证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
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二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.
2. 若limzz1?z2?...?znn??n??，则limn??n?______________.
3. 函数ez
的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设
C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.
8. sinzz的孤立奇点为________.
9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.
010.
(ezReszn,0)?_____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程z3?1?0.
2. 设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).
3.
?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .
114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解
析.
2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
二. 填空题.（20分） 1. 设
z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.
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