高考数学(一轮复习)学案：《函数的奇偶性与周期性》

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 7.函数的

奇偶性与周期性学案

【学习目标】

1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性． 2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题． 预 习 案 1．奇函数、偶函数、奇偶性

对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：

(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 2．证明函数奇偶性的方法步骤

(1)确定函数定义域关于 对称；

(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数． 3．奇偶函数的性质

(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称； (2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝ ；

(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ． (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立． 4．一些重要类型的奇偶函数

(1)函数f(x)＝ax＋a－x为 函数，函数f(x)＝ax－a－x为 函数；

ax－a－xa2x(2)函数f(x)＝－1

ax＋a－x＝a2x＋1

(a>0且a≠1)为 函数；

(3)函数f(x)＝log1－xa1＋x为 函数；

(4)函数f(x)＝log2

a(x＋x＋1)为 函数． 5．周期函数

若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数． 6．函数的对称性

若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于 对称． 【预习自测】

1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．

①f(x)＝2x4＋3x2； ②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋1x； ④f(x)＝x3

＋1.

2．下列函数为偶函数的是 ( A．y＝sinx B．y＝x3 C．y＝ex D．y＝lnx2

＋1

3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的 （ ）

A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f (－a)) D．(a，

)

f(－a))

5．(2013·衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．

探 究 案 题型一 判断函数的奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

1＋x2

(1)f(x)＝x－|x|＋1 x∈[－1,4]； (2)f(x)＝(x－1) x∈(－1,1)；

1－x11

(3)f(x)＝x＋ (a>0，a≠1)．

a－12

探究1.判断下列函数的奇偶性．

2－x2

(1)f(x)＝ln； (2)g(x)＝x＋|x－a|； (3)f(x)＝

2＋x??x－2x ?2

?x＋2x ?

2

x≥0，x＜0.

题型二 奇偶性的应用

例2. (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R， x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为 ．

(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1]时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x1

－)＜0的解集为 ． 2

(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为 ．

探究2. (1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)

(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．

题型三 函数的周期性

例3. 设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.

(1)证明：函数f(x)为周期函数；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．

探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期

性．

(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－

1

，试判断函数f(x)

fx＋1

的周期性．

例4. 已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．

探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x2

∈[0,2]时，f(x)＝2x－x．

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．

我的学习总结： （1）我对知识的总结 .

（2）我对数学思想及方法的总结