数列通项公式的几种推导方法

2013届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

目录

摘要................................................................................................................................. I Abstract .......................................................................................................................... II 目录............................................................................................................................... III 1.引言 ............................................................................................................................ 1 2.数列及其通项公式的概念 ........................................................................................ 1 3.一般数列通项公式的几种推导方法 ........................................................................ 2

·3.1.观察法 ............................................................................................................. 2 ·3.2.定义法 ............................................................................................................. 3 ·3.3.公式法 ............................................................................................................. 4 ·3.4累加求和法 ..................................................................................................... 5 ·3.5累乘求积法 ..................................................................................................... 5 ·3.6迭代法 ............................................................................................................. 7 ·3.7转化构造法 ..................................................................................................... 8 ·3.8归纳猜想法 ................................................................................................... 10 ·3.9三角代换法 ................................................................................................... 12 ·3.10特征方程法 ................................................................................................. 13 ·3.11奇偶分类法 ................................................................................................. 14 4.一阶线性递推数列 .................................................................................................. 16

·4.1同除法 ........................................................................................................... 16 ·4.2构造法 ........................................................................................................... 16 ·4.3不动点法 ....................................................................................................... 17 ·4.4升降下标作差法 ........................................................................................... 17 ·4.5待定系数法 ................................................................................................... 18 5.二阶线性递推数列 .................................................................................................. 18 6.k阶线性递推数列 ................................................................................................... 20 全文总结...................................................................................................................... 25 参考文献...................................................................................................................... 26 谢 辞.......................................................................................................................... 26

III

2013届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

1引言

数列是高中数学的重要内容，处于核心地位，并且含有主要的数学思想方法和技巧，与数、式、三角、方程、不等式等有着非常密切的联系，在每年的高考中占有很大的比例，主要是对数列的求和以及不等式、函数等问题进行考查，有很强的综合性。

数列通项公式是数列问题的核心， 表述了数列的本质， 是我们分析数列性质的重要依据， 也是学好数列知识的关键， 是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具有两方面的功能，其一，可以根据它的通项公式判断一个数是不是数列的项以及是第几项等问题；其二，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项。弄明白数列项与项之间的内在关系才能有利于我们理解并掌握数列问题，数列的通项公式表明了第n项与项的序号n的关系。能更好的理解数列通项的算法，不仅对培养学生的数学思维能力、研究能力、创新能力十分有益，而且有助于学生理解数列与函数、方程、不等式的关系，促进学生对数列知识的进一步掌握，提高学生对数学的学习兴趣。

本文在前人总结的基础上，系统的整理数列通项公式的推导方法。大量的文献与期刊为本文提供了写作背景及依据。

2数列及其通项公式的概念

·定义2.1[12] (数列) 按一定次序排成的一列数叫做数列.

数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…. 其中an是数列的第n项.

·定义2.2[12] (通项公式) 如果数列｛an｝的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

·定义2.3[12] (等差数列) 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

·定义2.4[12] (等比数列) 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的

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数列通项公式的几种推导方法

前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）.

·定义2.5[5] (一阶线性递推数列) 是指xn?1=f(xn)其中f是一个线性函数，例如, xn?1=axn+b.

3一般数列通项公式的几种推导方法 ·3.1观察法

通常是观察数列前后之间的关系分析其前几项的构成规律，写出数列的一个通项公式。 例1.已知数列

131721535，?，，?，，?，

816322464. 写出此数列的一个

通项公式。

解：观察数列前几项可发现：各项都是分数形式，并且各项的绝对值的分母是首期为2，公比为2的等比数列；每一项绝对值的分子中的根式内被开方的数是首项为5，公差为4的等差数列；奇数项为正，偶数项为负，.由此可知，所求数列是由数列cn???1?所以数列通项公式为

an???1?n?1n?1与数列dn?4n?1乘积构成的。 2n?

4n?1. n214316例2.已知数列1，2，3，4，

74194.写出此数列的一个通项公式。

解：数列的前若干项特征是：各项是代分数形式，其中代数是以1为首项，1为公差的等差数列；后边的分数分子是它项数的平方，分母比它的分子多3，即分母是它项数的平方加3。由此可知，所求数列是由数列cn?n与数列

n2dn?2的和构成的。

n?3所以数列通项公式为

n2

an?n+2.

n?3

观察法是观察所给的各项与项的序号之间的函数关系规律。 可以从整体到局

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