数列通项公式的几种推导方法

2013届咸阳师范学院本科毕业论文(设计)

部观察，如果有正、负项交替出现，则用(?1)n?1或(?1)n来体现数列的变化。另外，我们还应该熟悉一些常见的数列通项公式，如?2n?1?,2n等。

??·3.2.定义法

是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法。

例3[5] （2011浙江理）已知等差数列｛an｝的首项a1为a（a?R），且公差不为0，且

111,,成等比数列，求数列｛an｝的通项公式。 a1a2a4111,,成等比数列得 a1a2a4 解：设等差数列｛an｝的公差为d,由

?1?112????，即??a?d?a1??a1?3d?， 1?a?aa14?2?2得a1d?d2，因为d?0，所以d?a1?a 所以an=a1?(n?1)?d=a?(n?1)?a=na

例4[5]（2011江西理）已知两个等比数列?an?,?bn?满足a1?a?a?0?，

b1?a1?1,b2?a2?2,b3?a3?3，若a?1，求数列?an?的通项公式.

解：设?an?的公比为q，

则b1?1?a?2，b2?2?aq?2?q,b3?3?aq2?3?q2. 由b1,b2,b3成等比数列， 得 ?2?q??23?q2 即 q2?4q?2?0， 解得 q1?2?2,q2?2?2, 所以?an?的通项公式为

an?(2?2)n?1或an?(2?2).

n?12?? 定义法求数列通项公式，要特别注意弄清等差数列、等比数列这两种数列的定义，并想办法通过建立等价关系求出首项a1与公差d或公比q，便可得通项公

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数列通项公式的几种推导方法

式。

·3.3.公式法

利用数列前n项的和求数列的通项公式，若已知数列的前n项和为sn,则数列的?s1(n?1)an??通项公式an与sn有如下关系：?sn?sn?1(n?2). 例5.已知数列?an?的前n项和sn满足log3解：sn?3n?1 当n?1时，a1?2

当n?2时，an?sn?sn?1?3n?3n?1?2?3n?1 此时 a1?2?2?31?1

所以 an?2?3n?1 为所求数列的通项公式。 例6.已知数列?an?中，an?0，且4sn?2an?n，

sn?sn?122(sn?1)?n，求此数列的通项公式。

n，求数列?an?的通项公式。 an解：由已知得 4sn?2sn?2sn?1?化简后得 2sn?sn?1?n，即 sn?sn?1??22?n 223n22则有 sn?s1?????，

222n?1时，s1?a1 得

2n?2时， sn?a1?221,s1?22，

n?n?1?n?n?1?，又an?0，sn?，

24则 an?n?n?1??n?n?1?.

2 运用公式法求数列通项公式时，要分成n?1和n?2两种情况分别进行计算，再验证a1是否满足n?2时的通项公式。如果满足，则统一表达为n?2时的通项公式的形式 ，如果不满足，则应该以分段形式来表示通项公式。

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·3.4累加求和法

形如an?1?an?f(n)的数列通项公式，依次令n为(n?1),(n?2),?,3,2,1,通过累加，得(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)， 再通过求和把数列的通项公式求出来。 例7.已知数列?an?中，a1?1,an?1?an?24n2?1，求?an?的通项公式。

1??1?解：由已知得，an?1?an???， 2n?12n?1??令n?1,2,?,(n?1),代入(n?1)个等式累加，即

11111(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?(1?)?(?)???(?)

3352n?32n?11 ?an?a1?1?2n?14n?3 ?an?2n?1例8.已知数列?an?中，a1??3,an?1?an?3n，求?an?的通项公式。 解：由已知得 an?1?an?3n，

令n?1,2,?,(n?1),代入(n?1)个等式累加，即

(a2??a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?3?[1?2?3??(n?1)]?3?n(n?1) 2?an?a1?3??an?3?n(n?1) 2n(n?1)?32

(n?1)(n?2)?3?2反复利用所给递推关系得到n?1个式子 累加求和法主要是通过，并且将这的前n?1项的和，n?1个式子累加后求出通项公式，此法最终转化为求数列?f(n)?这里要求熟练掌握并应用各种数列求和的方法与技巧。

·3.5累乘求积法

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数列通项公式的几种推导方法

形如

an?1?f(n)的数列通项公式，依次令n为(n?1),(n?2),?,3,2,1,通过累乘，得anaaa2a3????n?1?n?f(1)?f(2)???f(n?2)?f(n?1)，再通过求积求出a1a2an?2an?1数列的通项公。

2?例9.设?an?是首项为2的正项数列，且(n?1)an?1?nan?1an?0,n?N，求an。

解：已知等式可化为：an?1[(n?1)an?1?nan]?0

?an?0

?(n?1)an?1?nan?0 即

an?1a?nn?1 n?n?2时，

ana?n?1 n?1na2aaaa?3???n?1a?n?1?2???n?2n?1?n?1n 1a2n?2an?123即

ana?1 1na12n?na1?n 例

10.(2004

全

国

理

)已

知

数

列

?an?满足

a1?1an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1,(n?2),求an。

解：由已知，得an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用此式减去已知式，得 当n?2时，an?1?an?nan 即

an?1a?n?1，又a2?a1?1 n?aa2aa1?1,a?1,3?3,a4?4,?,n?n?1, 1a2a3an?1

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