1．正弦定理:
abc???2R或变形：a:b:c?sinA:sinB:sinC. sinAsinBsinC?b2?c2?a2?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA?
?2a2?c2?b2?222．余弦定理： ?b?a?c?2accosB 或 ?cosB?.
2ac?c2?b2?a2?2bacosC?
??b2?a2?c2
?cosC?
2ab?
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin已知条件 A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot.、 222222定理应用 正弦定理 一般解法 一边和两角 （如a、B、C） 两边和夹角 (如a、b、c) 三边 (如a、b、c)
由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。 余弦定理 余弦定理 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于
A．60°
B．60°或120°
C．30°或150° D．120°
（ ）
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A．a=1,b=2 ,c=3 C．a=1,b=2,∠A=100°
B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．b=c=1, ∠B=45°
（ ）
3、在锐角三角形ABC中，有
A．cosA>sinB且cosB>sinA C．cosA>sinB且cosB B．cosA （ ） 4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 A．直角三角形 C．等腰三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形 （ ） 5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60° （ ） D．不定 （ ） 6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 A．4 B．2 C．1 7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB等于 （ ） A B asin?sin?A． sin(???)C． asin??sin?B． cos(???)D C asin?cos?acos?sin? D． sin(???)cos(???)? ? 9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=11、在ΔABC中，若SΔABC= 7, 则ΔABC是______三角形. 121222 (a+b－c),那么角∠C=______. 43112、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______. 3213、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB； sinA?sinB④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B). cosA?cosB?1、在△ABC中，已知内角A?，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值． ③sinC= 2、在?ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c，若sinA?13,sinB?，求a:b:c 22 3、在?ABC中a,b,c分别为?A,?B,?C的对边，若2sinA(cosB?cosC)?3(sinB?sinC)， （1）求A的大小；（2）若a?61,b?c?9，求b和c的值。 4、图，AO?2，B是半个单位圆上的动点，?ABC是等边三角形，求当?AOB等于多少时，四边形OACB的面积最大，并求四边形面积的最大值． 5、在△OAB 中，O 为坐标原点， CA(1,cos?),B(sin?,1),??(0,]，则当△OAB的面 2积达最大值时，??( ) A． ?B??? B． C． 643 D． E?2OFA6. 在?ABC中，已知tanA?B?sinC，给出以2 ②0?sinA?sinB?下四个论断，其中正确的是 ①tanA?cotB?1 2 ③sin2A?cos2B?1 ④cos2A?cos2B?sin2C ??????4．已知A,B,C是三角形?ABC三内角，向量m??1,3,n??cosA,sinA?，且m?n?1. ??1?sin2B??3，求tanC. 22cosB?sinBxx?x?x?5．已知向量a?(2cos,tan(?)),b?(2sin(?),tan(?)),令f(x)?a?b. 2242424（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若 求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间. ?????10．设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a?(a?b). （Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)≥ 3成立的x的取值范围． 2 [例5] 已知函数 （1）当函数 取得最大值时，求自变量的集合。 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ ，其中， 且 ，若 在 时 （2）该函数的图象可由 [例8] 已知 有最大值为7，求、的值。 参考答案（正弦、余弦定理与解三角形） 一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10） 114?3 （11） （12） 三、（13）分析：化简已知 834条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理 a2?c2?b2a2?c2?b21cos60?????a2?c2?ac?ac ?(a?c)2?0， 2ac2ac2b2sinA ?a?c. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由btanA?atanB?cosA22a2sinBsinBcosAb2sin2B?????sinAcosA?sinBcosB,?sin2A?sin2B,∴A=B或A+B=90°， cosBsinAcosBa2sin2A∴△ABC为等腰△或Rt△. ③?sinC?sinA?sinB，由正弦定理：c(cosA?cosB)?a?b,再由余 cosA?cosBa2?b2?c2a2?c2?b2弦定理：c??c??a?b 2bc2ac22sin(A?B)a?b. ④由条件变形为 ?(a?b)(c?a?b)?0,?c?a?b,??ABC为Rt??22sin(A?B)a?b222222sin(A?B)?sin(A?B)a2sinAcosBsin2A??2,???sin2A?sin2B,?A?B或A?B?90?. 2sin(A?B)?sin(A?B)bcosAsinBsinB∴△ABC是等腰△或Rt△.
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