专题6 三次函数的图象与性质
三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中，本专题主要研究三次函数的单调性、极值、最值、对称性等，并在研究的过程中体会数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法.
(2019·江苏卷)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数． (1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值； 4(3)若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f(x)的极大值为M，求证：M≤.
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本题的第(1)题是一个很简单的方程问题；第(2)题中，先求f′(x)，由题意可
知，只需求a与b的值，便 可把问题化归为一个常规的三次函数最值问题，求得f′(x)后，
?2a＋b?2a＋b?＝{－3，1，3}，由此解可以看出函数与的零点分别是a，b，，题意得?a，b，
3?3?
出a，b即可．第(3)题中，函数f(x)是只含参数b的三次函数，于是可求出函数极大值M(用
b表示)，再证M≤.
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已知函数f(x)＝x3－3x2＋(2－t)x，f′(x)为f(x)的导函数，其中t∈R.若方程f(x)＝0
有三个互不相同的根0，α，β，其中α＜β.
f′（α）f′（β）
(1)是否存在实数t，使得＝成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明
βα理由．
(2)若对任意的x∈[α，β]，不等式f(x)≤16－t恒成立，求t的取值范围．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，a，b∈R. (1)若a2＋b＝0，
①当a＞0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；
②若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)函数f(x)图象上点A点处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为
l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)
的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b2>3a；
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(3)若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．
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已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝3x－2.
3(1)求实数a，b的值；
m
(2)设g(x)＝f(x)＋是[2，＋∞)上的增函数．
x－1①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y＝g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(2019·全国卷)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
(本小题满分16分)已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a＞0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝
??f（x），f（x）≥g（x），
? ?g（x），f（x） (1) 求函数f(x)的极值； (2) 若g(x)＝xf′(x)，且存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围； (3) 若g(x)＝lnx，试讨论函数h(x)(x＞0)的零点个数. 4 (1)f(x)的极大值为1，极小值为1－2；(2)(－∞，2]；(3)当0＜a＜2时，h(x) a有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点． (1) ∵函数f(x)＝ax－3x＋1，∴ f′(x)＝3ax－6x＝3x(ax－2).1分(求出 322 f′(x)) 2 令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝.∵a＞0，∴x1＜x2，如表6-6所示． ax f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 ?0，2? ?a???－ 2a ?2，＋∞? ?a???＋ 0 极小值 表6-6 4?2?812 ∴ f(x)的极大值为f(0)＝1，极小值为f??＝2－2＋1＝1－2 a??aaa4 3分(求出f(x)极大值1，极小值1－2) a(2) g(x)＝xf′(x)＝3ax－6x，∵存在x∈[1，2]使h(x)＝f(x)， 3232 ∴ f(x)≥g(x)在x∈[1，2]上有解，即ax－3x＋1≥3ax－6x在x∈[1，2]上有解， 131 即不等式2a≤3＋在x∈[1，2]上有解.4分(原命题等价转化：在x∈[1，2]，使2a≤3＋ 32 xxx3 x1 2 ) 2 33x＋1－3x－3 设y＝3＋＝3(x∈[1，2])，∵ y′＝＜0对x∈[1，2]恒成立， 4 xxxx1313 ∴ y＝3＋在x∈[1，2]上单调递减，∴当x＝1时，y＝3＋的最大值为4， xxxx∴ 2a≤4，即a≤2，即a的取值范围为(－∞，2]． 13 7分(求出函数y＝3＋在[1，2]上的最大值进而求得a的范围 xx2?＝1－4， (3) 由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f????a??? a2 ①当1－4＞0，即a＞2时，f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立， a2 ∴ h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上无零点.8分(推证a>2时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点) ②当1－4＝0，即a＝2时，f(x)min＝f(1)＝0，又g(1)＝0， a2 ∴ h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞上有一个零点) )上有一个零点.9分(推证a＝2时，h(x)在(0，＋∞) 432 ③当1－2＜0，即0＜a＜2时，设φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax－3x＋1－lnx(0＜x＜1)． a112 ∵ φ′(x)＝3ax－6x－＜6x(x－1)－＜0，∴ φ(x)在(0，1)上单调递减． xx?1?a2e－3?1?又φ(1)＝a－2＜0，φ??＝3＋2＞0，∴存在唯一的x0∈?，1?，使得φ(x0)＝0. e?e?e?e? 1 11分(推证当0 e Ⅰ. 当0＜x≤x0时，∵ φ(x)＝f(x)－g(x)≥φ(x0)＝0，∴ h(x)＝f(x)且h(x)为减函数． 又h(x0)＝f(x0)＝g(x0)＝lnx0＜ln1＝0，f(0)＝1＞0，∴ h(x)在(0，x0)上有一个零点； 13分(推证h(x)在(0，x2]上有一个零点) Ⅱ. 当x＞x0时，∵ φ(x)＝f(x)－g(x)＜φ(x0)＝0，∴ h(x)＝g(x)且h(x)为增函数． 14分(推证h(x)在(x0，＋∞)上有一个零点) ∵ g(1)＝0，∴h(x)在(x0，＋∞)上有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点． 15分(得出结论h(x)在(0，＋∞)上有两个零点) 综上：当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点． 16分(归纳结论) 第一步：求出导函数f′(x)； 第二步：求出f(x)极大； 第三步：将原命题等价转化为存在性命题； 第四步：利用分参数法，求a的取值范围； 第五步：分类讨论 当a>2时 ，由于f(x)>0恒成立， 故可推出h(x)在(0，＋∞)上无零点； 第六步：验证a＝2时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点； 第七步：验证0 第十步：导出结论当0 第十一步：归纳结论. 作业评价 设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切 线方程为________． 1 已知函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2是R上的增函数，则实数m 3 的取值范围 为________． 2 111 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f(x)＜b2＋ 326 2b恒成立，则实数b的取值范围为________． 已知曲线f(x)＝x3，则过点P(1，1)的曲线f(x)的切线方程为________． 若函数f(x)＝x3－3x在开区间(a，6－a2)有最小值，则实数a的取值集合为________． 已知曲线f(x)＝x3，设曲线f(x)在A(1，1)处的切线l1交曲线f(x)于B，曲线f(x)在B NO 处的切线为l2，曲线f(x)在O(0，0)处的切线l分别交l1，l2于M，N，则的值为________． MO 1 设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0. 3(1)当m＝1时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率； (2)求函数的单调区间与极值； (3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2；若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＞f(1)恒成立，求实数m的取值范围． 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)，设直线l1，l2分别是曲线y＝f(x) 的两条不同的切线． (1)若函数f(x)为奇函数，且当x＝1时f(x)有极小值为－4. ①求a，b，c，d的值； ②若直线l3亦与曲线y＝f(x)相切，且三条不同的直线l1，l2，l3交于点G(m，4)，求实数m的取值范围； (2)若直线l1∥l2，直线l1与曲线y＝f(x)切于点B且交曲线y＝f(x)于点D，直线l2和与曲线y＝f(x)切于点C且交曲线y＝f(x)于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，求(xA－xB)∶(xB－xC)∶(xC－xD)的值．
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