(人教版)2020届高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形测评 理

1.解:(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin2x+,

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)证明:因为-≤x≤,

所以-≤2x+≤,

所以sin2x+≥sin=-,

所以当x∈-,时,f(x)≥-.

2.解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=,

由正弦定理得sin Csin B=.

故sin Bsin C=.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-,

所以B+C=,故A=.

由题设得bcsin A=,即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2

-3bc=9,得b+c=.

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故△ABC的周长为3+.

3.解:(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2

,故sin B=4(1-cos B), 上式两边平方,整理得 17cos2

B-32cos B+15=0,

解得cos B=1(舍去)或cos B=.

(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得

b2=a2+c2-2accos B

=(a+c)2-2ac(1+cos B)

=36-2××

=4,

所以b=2.

4.解:(1)f(x)=(sin x-cos x)sin+x+=(sin x-cos x)cos x+=sin xcos

x-cos2

x+=sin 2x-cos 2x=sin2x-.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ,k∈Z.

(2)∵f+=sinA-=,

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且-

∴A-=,即A=.

∵sin C=2sin B,∴c=2b,

又a=3,∴由余弦定理得cos A===,

解得b=,∴c=2.

综上,A=,b=,c=2.

5.解:(1)由atan B=2bsin A,得a·=2bsin A,则asin B=2bsin Acos B,

由正弦定理可得sin Asin B=2sin Bsin Acos B,

又sin Asin B≠0,所以2cos B=1,即cos B=, 又0

(2)由(1)可得B=,

则C=π--=,

由正弦定理=,可得c=·sin C=,

所以S△ABC=bcsin A=×××=.

6.解:(1)∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,

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∴a2+b2-c2=ab.

∴由余弦定理得cos C==.

又∵C∈(0,π),

∴C=.

(2)由c=2,C=,并根据正弦定理得,

====,

∴a+b=(sin A+sin B)=sin A+sin-A=2sin A+2cos A=4sinA+.又∵△ABC为锐角三角形,

∴

解得

∴

∴2<4sinA+≤4.

综上,a+b的取值范围是(2

,4]. 20