高中数学《1.5定积分的概念》评估训练 新人教A版选修2-2

1.5 定积分的概1．5.1 曲边梯形的面积1．5.2 汽车行驶的路程

1．5.3 定积分的概念

双基达标

1．函数f(x)＝x在区间?

2

限时20分钟

?i－1，i?上，

n??n?

( )．

A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化

D．当n很大时，f(x)的值变化很小 解析 当n很大时，区间?答案 D

2．当n很大时，函数f(x)＝x在区间?

2

?i－1，i?的长度1越来越小，f(x)的值变化很小，故选D.

n?n?n?

?i－1，i?上的值可以用下列哪个值近似代替

n??n?

( )．

?1??2??i?A．f?? B．f?? C．f?? D．f(0)

?n?

?n?

?n?

解析 当n很大时，f(x)＝x在区间?

2

?i－1，i?上的值可用该区间上任何一点的函数值近似n??n?

代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C. 答案 C

3．已知定积分∫60f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则∫6－6f(x)dx＝

( )．

A．0 B．16 C．12 D．8 解析 偶函数图象关于y轴对称，

故答案 B

，故选B.

4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．

- 1 -

答案

n5．若

，则 lim ?f(ξi)

n→∞

i＝1

b－a＝________. n解析 由定积分的定义答案 6

6．利用定积分定义计算∫10xdx.

12n－1n解 (1)分割：0<<<…<<＝1.

3

可得．

nnnn?1?31?2?31?n?31?i?31(2)求和：??·＋??·＋…＋??·＝? ??·.

?n?n?n?n?n?ni＝1?n?nn(因为x连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)

3

i?311n31?nn＋1?21?(3)取极限： lim?i??·＝ lim 4?i＝ lim 4·??＝4.

n2nni＝1n??i＝1??

n3

n→∞n→∞3

n→∞

此处用到了求和公式1＋2＋…＋n＝(1＋2＋…＋n)＝

332

?nn＋1?2，因此∫10x3dx＝1.

??24??

综合提高

7．下列等式成立的是

( )．

限时25分钟

- 2 -

解析 由定积分的几何意义，选C. 答案 C

8．下列式子中不成立的是

( )．

解析 分析被积函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C选项不成立，故选C. 答案 C

9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则的值为________．

解析 因为定积分与符号无关，所以答案 0

10．利用定积分的几何意义计算?3(x＋2)dx的值是________．

.

?1

解析 由定积分的几何意义知

?(x＋2)dx就是如图所示阴影部分的面积． ?1

3

- 3 -

答案 8

11．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？

2

i－1i??1＋，1＋解 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为?，在第i个

nn???

?i???i?2?i??1

时间段的路程近似为Δsi＝v?1＋?Δt＝?－?1＋?＋2?1＋??·，i＝1,2，…，n.

nnn?

?

??

?

?

??n??i?2?i??1

所以sn＝?Δsi＝? ?－?1＋?＋2?1＋??·

nni＝1

i＝1

??n??n??n122222

＝－3[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋(2n)]＋2[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]

nn1?2n＝－3?

2n＋1

6

2

4n＋1

n?

－

nn＋1

6

2n＋1?

?＋ ?

2

n2

·

nn＋1＋2n1?1??1?＝－?2＋??4＋?＋

3?n??n?

1?1??1?11＋??2＋?＋3＋， ?n??n?6?ns＝Sn＝

1?1??1?11?1?12

－?2＋??4＋?＋1＋?2＋?＋3＋＝，

3?n??n?6n?n?n3

2

所以这段时间行驶的路程为 km.

3

12．(创新拓展)求直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝4x＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积．

解 (1)分割：将[0,2] n等分，则?

2

?2i－1，2i?(i＝1,2，…，n)的区间长度Δx＝2，nn?n??

原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示．

- 4 -

(2)用f?

?2i－1?作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相

??n?

应小曲边梯形面积． (3)n个小矩形面积之和

nSn＝?f[

2

i－1

i＝1

n]Δx n＝?[

16

i－12

＋

4i－1i＝1

n2

n＋1]2

n ＝??1622

2

?n2[1＋2＋…＋n－1]＋4

n[1＋2＋…＋

＝32181n3·6n(n－1)(2n－1)＋n2·2n(n－1)＋2 ＝

16?1?3??1－n?????2－1n???＋4???1－1n???

＋2 (4)所求曲边梯形面积S＝ n→∞limSn ＝ ??16?1??1??1?3??1－n????2－n??＋4??1－n???＋2???

＝163(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝32503＋6＝3

. n－1]＋n??2

?

n

- 5 -