一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法

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一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法

作者：谢国芳（Roy Xie） Email: roixie@163.com

【摘要】本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程

ax3?bx2?cx?d?0 的新求根公式及相应的根的判别法则。

【资料来源】 同作者已发表的学术论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》

（2012年第21期《数学学习与研究》）和网页专题研究论文集《三次方程研究》

一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）

和根的判别法则

对于实系数三次方程ax3+bx2+cx+d=0，定义

2第一判别式（first discriminant） D?b?3ac,

关键比（key ratio） r = 9abc?2b3?27a2d2D3,

则有如下根的判别法则和求根公式：

（一）当D?b2?3ac?0时，方程有一个实根和两个共轭虚根：

1??b?D(K?)?K?x1?3a??11??b?D?(K?)?2K?ix?2,3?3a?其中 K=r+r2+1. 3D?31(K?)2K3a

（1.1）

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（二）当D?b2?3ac?0，r?1时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：

1??b?D(??)???x1?3a?（1.2）?1131??b?D?(??)D?(??)?2??i2?x2,3??3a3a?

3其中 ??r?r2?1.

（三）当D?b2?3ac?0，r?1时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一

个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1.2）求解.

3当r?1时，??r?r2?1?1，代入式（1.2）即得

x1??b?2D?b?D, x2?x3?. 3a3a

3当r??1时，??r?r2?1??1，代入式（1.2）即得

x1??b?2D?b?D, x2?x3?. 3a3a

（四）当D?b2?3ac?0，r?1时，方程有三个互异的实根：

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??b???x1????b???x2????b???x3???D?2cos3a?3?2?D?2cos(?)333a?2?D?2cos(?)333a

（1.3）

其中q=cos-1r.

以上求根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》上同作者的论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》。

（五）当D?b2?3ac?0（即关键比的分母为0）时，方程ax3+bx2+cx+d=0可以配成

b2完全立方求解，两边同除以a，再利用c?可将它改写成

3a(x?b3bd)?()3? 3a3aa 解得

??b?3b3?27a2d?x1?3a???b?3b3?27a2d??? （1.4） ?x2?3a???b?3b3?27a2d??2?x3?3a??其中w为三次单位根（w=e2pi/3=-1313i）. +i，?2?????2222易见当b3?27a2d时，x1为实根. x2,x3为共轭虚根.

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当b3?27a2d时，x1=x2=x3=-

bb，即方程有一个三重实根-.

3a3a例题1 判别方程27x3?10x2?10x?10?0根的情况并求其实根. 解：a?27, b??10, c?10, d??10,

D?b2?3ac ? (?10)2?3?27?10 ? ?710,

由D?0可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（1.1）求解.

r = 9abc?2b3?27a2d2D3 = 9?27?(?10)?10?2?(?10)3?27?272?(?10)2?7103 ?4.612671960153912,

K?3r?r2?1?2.105390263295466,

实根 x1?

?b?D(K?3a11)10?710(K?)K?K?0.659800716697953,

3?27例题2 判别方程 731x3?823x2?307x?38?0 根的情况并求其实根.

解：a?731, b??823, c?307, d??38,

D?b2?3ac?(?823)2?3?731?307?4078,