2010 年全国高中数学联赛
一
试
一、填空题（每小题 1. 2. 3.
函数 f ( x) 已知函数 y 双曲线 x2
8 分，共 64 分，）
x 5
24 3x 的值域是.
(a cos2 x 3) sin x 的最小值为
3 ，则实数 a 的取值范围是.
y 2 1 的右半支与直线 x 100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标
均为整数的点）的个数是
.
4.
已 知 { an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ， { bn }
是等比数列，其中
a1
则
3,b1 1, a2 b2 ,3a5
b3 ，且存在常数 ,
使得对每一个正整数
n 都有 an
log bn
，
.
5.
函数
( ) f x
2 x
a
3 x 2( 0, 1) 在区间 x [ 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个区
a a a
间上的最小值是.
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于
6 者为胜，否则轮
由另一人投掷 . 先投掷人的获胜概率是
.
7.
正三棱柱 ABC
A1 B1C1 的 9 条棱长都相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B
A1 P B1
,
则 sin
.
8.
方程
满足
的正整数解（ , , ）的个数是.
x y z 2010
56 分）
x y z
3
x y z
二、解答题（本题满分 9. （ 16 分）已知函数
2
( )
f x
(
a
0) ，当
时，
，试求 a
ax
bx
cx d
0 x
1
f (x)
1
的最大值 .
210. （ 20 分 ） 已 知 抛 物 线 y 6x 上 的 两 个 动 点 A(x1, y1 )和 B( x2 , y2 ) ， 其 中 x1 x2 且
x
1
x
2
4
.线 段
AB
的垂直平分线与
x 轴交于点
C
，求
ABC
面积的最大值 .
11. （20 分）证明：方程 2x3
5x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数
3
列 { an } ，使得 2
5
ra ra ra
1
2
.
解 答
1.
[ 3, 3] 提示：易知 f ( x) 的定义域是 5,8 ，且 f ( x) 在 5,8 上是增函数，从而可知
f ( x) 的值域为 [ 3,
2.
3] .
3 2
a 12 提示：令 sin x
t ，则原函数化为 g(t)
( at 2
a 3)t ，即
g (t)
at 3 (a 3)t .
由
at 3 (a 3)t 1) 3
3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ，(t
1)( at (t
1) 3)
0 及 t
1 0 知
at (t
0 即
a(t 2 t )
3.
（1）
当 t
0, 1 时（ 1）总成立；
对 0 t
1,0 t 2 t 2；对 1
t
0,
1 t 2 t 4
0 . 从而可知
3 2
a 12 .
3. 9800
提示： 由对称性知， 只要先考虑 x 轴上方的情况， 设 y k( k 1,2, ,99) 与双曲线
右半支于 Ak , 交直线 x 域内部整点的个数为
100于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区
99
(99
k 1
k)
99 49 4851 .
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为 4.
3 2 4851 98 9800 .
3
3
提示 ：设 { an } 的公差为 d,{ bn } 的公比为 q ，则
3 d q,
（ 1） （ 2）
3(3 4d )
q 2 ，
（ 1）代入（ 2）得 9 从而有 3
12d d 2 log 9 n 1
6d 9 ，求得 d 6,q 9 .
6(n 1) 对一切正整数 n 都成立，即 6n 3 (n 1) log 9
对
一切正整数 n 都成立 .
从而
log 9 6, 3 log 9
，
求得
5.
3
3,
3 ，
3
3 3.
1 提示：令 a x 4
y, 则原函数化为 g( y)
y 2
3y 2 , g( y) 在 ( 3 ,+ ) 上是递增的 .
2
当 0 a
1时， y [ a, a 1 ] ,
g( y)max
a 2
3a 1 2
8
a 1 2
a
1 ， 2
所以
g( y) min
( 1)2
2
3
1 2 2
1 ； 4
当
a 1 时， y
[ a 1 , a] ，
g( y)max
a 2 3a
2 8
a 2 ，
所以
g( y)min
2 2 1 4
.
3 2 1 2
1 . 4
综上 f ( x) 在 x [ 1,1] 上的最小值为
6.
12 17
提示：同时投掷两颗骰子点数和大于
6 的概率为
21
为
36
7 ，从而先投掷人的获胜概率 12
7 12
(5)2
12
7 12
(5)4
12
7 12
1 12 .
12 1 25 17
144
7
7.
10 提示： 解法一 ：如图，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 中点 O 为原点， OC 所在
4
. 设正三棱柱的棱长为
直线为 y 轴，建立空间直角坐标系
2，则
B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 ( 1,0,2), P(0, 3,1) ，从而，
BA1 ( 2,0,2), BP ( 1, 3,1), B1 A1 ( 2,0,0), B1 P ( 1, 3, 1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量
是 m
z A1
( x1, y1, z1 ) 、 n (x2 , y2 , z2 ) ，则 m BA1 m BP
2x1 x1
C 1
2z1 0,
B 1
3 y1 z1 0,
P
A
n B1 A1
2x2
0,
O
n B1P
x2
3 y2 z2
0,
C
y
B
x
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