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2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

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1(乙).B 解:1?12?13?a?1?2?111?2?1?11?1??1?2?1?2.

2?2?12?12(甲).D

解:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一

个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x,y均为整数,所以有

2222??(x?1)?0,??(x?1)?0,??(x?1)?1,??(x?1)?1, ? ? ? ?2222??(y?1)?0;??(y?1)?1;??(y?1)?0;??(y?1)?1.解得

?x?1,?x?1,?x?1,?x?0,?x?0,?x?0,?x?2,?x?2,?x?2, ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?2;y?2;y?1;y?0;y?1;y?0;y?1;y?0;y?2.?????????以上共计9对. (x,y)3(甲).D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.

4443(乙).B

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE, 所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中,AE?5,AD?3, 于是DE=AE2?AD2?4,所以CD = DE = 4.

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4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2), ??y?n?2(x?n),消去x得 (2y-7)n = y+4, 2n =

(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7因为

15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从

2y?7而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为?q?0,故方程的根为一正一负.由二次函数y?x2?px?q的图象知,当x?3时,y?0,所以32?3p?q?0,即 3p?q?9. 由于p,q都是正整数,所以p?1,1≤q≤5;或 p?2,1≤q≤2,此时都有??p2?4q?0. 于是共有7组(p,q)符合题意.

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以

p0?98910,p1?,p2?,p3?,因此p3最大. 363636365(乙).C

解:因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1),所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x,则

111x?1?(1?1)(?1)(?1)???(?1),

23100解得 x?1?101,x?100.

二、填空题

6(甲).7<x≤19

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解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得 27x-26≤487, 81x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是 7<x≤19.

6(乙).7

11110???两边乘以a?b?c?9得 a?bb?cc?a9cabcab3????10即???7

a?bb?cc?aa?bb?cc?a解:在

7(甲).8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN12由此得AN?2NF,所以AN?AF.

3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF?AB2?BF2?5a,

于是 cos?BAF?AB25?. AF5由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?. 于是 AM?AE?cos?BAF?25a, 5245MN?AN?AM?AF?AM?a,

315

S?MNDMN4??. S?AFDAF15又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2. 21515因为a?15,所以S?MND?8.

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28 5解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE.

7(乙).

因为OB?202?122?16,所以

OM?OB?OC16?1248??, BC2053664CM?OC2?OM2?,BM?.

55643628??. 555CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)?BM?CM?8(甲).?2 339?=k2-4(k2?3k?)≥0,

42解:根据题意,关于x的方程有

由此得 (k-3)2≤0.

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+

93=0,解得x1=x2=?.

24故

x1x220112012=

21=?.

3x28(乙).1610

解:n2?n?3n2?n?3?n2?34??????2?n2?n4?5n2?9

因此5|(n?9),所以n?1(mod5),因此n?5k?1,或5k?2

42012?5?402??2

所以共有2012-402=1610个数

9(甲).8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知2a?3b?130,由此得0≤b≤43.

(m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是

2 0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43,

又 a?b?87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,a?故m?8.

a?b55?,不合题设. 22第- 8 -页 共14页

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