9（乙）.
3?5a??1 2c?a?b?c(1)?解：依题意得：?111，所以b?c?a，代入（2）得
??(2)??bca11111????，两边乘以a得 abcc?ac1?aac?aa??即化简得a2?3ac?c2?0，两边除以c2得 c?ac，cc?a，
23?5a3?5a?a? 所以 ???3()?1?0??2c2c?c?另一方面：a≤b≤c，所以
a3?5a?1 综合得??1 c2c另解：可令
a?k，由（1）得b?(1?k)c，代入（2）化简得k2?3k?1?0，解得 c3?53?53?5另一方面：a≤b≤c，所以k?1， 综合得?k??k?1．
22，210（甲）．
32 2解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此
BCBA?. CFAD因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是
DEOE??2. 因此 DCOBDE?2CD?2AD，CE?3AD.
由△AED∽△CEB，知DE?EC?AE?BE．因为AE?所以 2AD?3AD?BA3，BE?BA， 22BA3?BA，BA=22AD ，故 22第- 9 -页 共14页
CF?10（乙）.12
ADBC32?BC?. ?BA222解：依题意得n?a2?b2??a?b??a?b?
由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n?4k，
（a，b）当1≤n≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：
k?p或k?p2，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、
4、9、25，从而这样的n有12个。
三、解答题
11（甲）．解： 因为当?1?x?3时，恒有y?0，所以
2??（m?3）?（4m?2）?0，
（m?1）?0，所以m??1． 即
…………（3分）
当x??1时，y≤0；当x?3时，y≤0，即
2(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0，
且 3?3(m?3)?m?2≤0，
解得m≤?5．
…………（8分）
设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关
22系得x1?x2???m?3?，x1x2?m?2．
因为
x?x119m?39???，所以12????， x1x210x1x2m?210解得m??12，或m??2．
因此m??12．
…………（15分）
11（乙）.解：因为sin∠ABC =
AO4?，AO?8， AB5 AB2?AO2?6．第- 10 -页 共14页
所以AB = 10．由勾股定理，得BO?易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6． 于是A(0，?8)，B(6，0)，C(?6，0)． 设点D的坐标为(m，n)． 由S△COE?S△ADE，得S△CDB?S△AOB．
1111BC?n?AO?BO，?12(?n)??8?6． 2222解得 n??4．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为(3，?4)．
所以
因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，
?)．所以点E的坐标为(0，（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）
设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6)． 将点E的坐标代入，解得a =
832． 27故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?
228x?． 273
12（甲）． 证明：连接BD，因为OB为?O1的直径，所以
?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与?O1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为OC?OB，所以
?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．
…………（10分）
又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以
△BOC∽△DO1F．
…………（15分）
12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等
的性质知：?CID??IAD??IDA，
?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA． 所以?CID??CDI， CI = CD． 同理，CI = CB ．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．
故OI是△IBD外接圆的切线．
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（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．
??CD?，知OC⊥BD． 由BC因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE． 又因为I是△ABD的内心，所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD． 故AB?AD?2BD．
?BD也可由托勒密定理得：AB?CD?AD?BC?AC，再将AC?2BC?2CD代入即得结论
AB?AD?2BD。
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）.
因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分）
（1）当n?1时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n?m 2，2a－m－2n?1.
(m?1)2m2?1解得 a?，n?.
442（m?1）于是 b= a－m?.
4…………（10分）
(m?1)2又a≥2012，即≥2012.
4(89?1)2又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
4当a?2025时，m?89，b?1936，n?1980. 此时，a的最小值为2025.
（2）当n?0时，因为a?2012，所以b?0，从而得a的最小值为2017（素数）。 综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分）
13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角
都等于30°，
而凸n边形的n个外角和为360°，所以k?360?12，只有当n?12时， 30k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论n?12时的情况：
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