专题 均值不等式及其应用 课后练习

专题 均值不等式及其应用 课后练习

主讲教师：王春辉 数学高级教师

题一：若正数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是 .

题二：设正数a，b满足条件a+b=3，则直线(a+b)x+aby=0的斜率的取值范围是 .

题三：已知m2+n2=1，a2+b2=4，则am+bn的最大值是 .

题四：己知x，y∈R+，若x?3y?k?x?y恒成立，求实数k的取值范围.

题五：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc．

bcacab

题六：设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

abc23

题七：设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为( )

ab

25

A. 611

C. 3

8B. 3D．4

11k

题八：设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )．

aba＋b

A．0 B．4 C．－4 D．－2

c＋2a＋2

题九：已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞).则＋的最小值为________．

ac题十：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高AD＝BC，

bc

求＋的取值范围． cb

题十一：若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )

11

A.＋有最大值4 ab

C.a＋b有最大值2

1

B．ab有最小值 4D．a2＋b2有最小值

2 2

xz

题十二：已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则2的 ( )

y

A．最小值为8 1

C．最小值为

8

B．最大值为8 1

D．最大值为 8

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专题 均值不等式及其应用

课后练习参考答案

题一： [6，+∞)． 详解：∵正数a，b满足又ab=a+b+3，∴

a?b?2ab，∴ab?(a?b2). 2a?b?3?(a?b2)，即(a+b)2－4(a+b)－12≥0． 2解得 a+b≥6．

故答案为：[6，+∞)．

题二： (??,?4]. 3k??.

a?b3??ababa?b23234)?（）??. ∴3=a?b?2ab，∴ab?(，∴k??22ab34故答案为：(??,?]. 3详解：∵直线方程是(a+b)x+aby=0，∴直线的斜率题三： 2 详解：三角代换：令m=cosθ，n=sinθ，a=2cosβ，b=2sinβ． ∴am+bn=2cosθcosβ+2sinθsinβ=2cos(θ－β)≤2， 故am+bn的最大值是2. 题四： k?10.

详解：∵(am+bn)2≤(a2+b2)(m2+n2)， ∴（∴2x?3y）?(1?9)(x?y)， x?3y?10?x?y，

x?3y?k?x?y恒成立， ∵x，y∈R+，∴

k?10，故答案为：k?10.

题五： 见详解

详解：∵b2+c2≥2bc，a＞0，

∴a(b2+c2)≥2abc ① 同理 b(c2+a2)≥2abc ② c(a2+b2)≥2abc ③

因为a，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号， 从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴三式相加可得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc.

题六： 见详解

bccaab

详解：∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．

abc

bcca

∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立， ab

caab

＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立， bc

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abbc

＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立． ca

bccaab

三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，

abcbccaab

即＋＋≥a＋b＋c. abc当且仅当a＝b＝c时等号成立．

题七： A

ab

详解：由a>0，b>0，2a＋3b＝6得＋＝1，

32

2323ab∴＋＝(＋)(＋) abab32

23ba＝＋＋＋ 32ab13≥＋2 6

ba· ab

1325＝＋2＝. 66

ba6

当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．

ab52325

即＋的最小值为. ab6a) A 题八： C

(a＋b)2(a＋b)2ba11k详解：由a＞0，b＞0，＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，

aba＋bababab

(a＋b)2

所以－≤－4.

ab

(a＋b)2

因此要使k ≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选C.

ab

题九： 10.

详解：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，

4ac－11因此有＝0，从而c＝>0， 4a4a∴

c＋2a＋221＋＝(＋8a)＋(2＋4a2)≥2×4＋2＝10， aca4a

2

??a＝8a，

当且仅当?

12??4a2＝4a，

1

，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.

2

题十： [2，5]．[学优]

bcb2＋c2a2＋2bccos Aa211

详解：因为＋＝＝＝＋2cos A，S△ABC＝·AD·BC＝a2，

cbbcbcbc2211

又a2＝S△ABC＝bcsin A， 22

2abcπ

所以＝sin A，故＋＝sin A＋2cos A＝5sin(A＋φ)≤5(当且仅当A＋φ＝时等号成立)．

bccb2bcbc又＋≥2·＝2， cbcb

bc

所以2≤＋≤5，

cb

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bc

即＋的取值范围是[2，5]． cb

题十一： C

a2＋b2a＋b2－2ab1

详解：由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；

224

11a＋b1＋＝＝≥4，故A错； ababab

a＋b1＝ ，即a＋b≤2，故C正确； 22

11

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．

42

故答案选C.

题十二： D

xzxzxz11详解：2＝≤. 2＝22＝y(x＋2z)x＋4xz＋4zx4z8

＋＋4zx由基本不等式得

x4z

当且仅当＝，x＝2z时取等号．

zxa) D

a＋b

≤ 2

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